1.3 Concepto de espacio vectorial

Importante

Definición de espacio vectorial. Mariano Real.
Vídeo alojado en Youtube

Como te ha indicado Descartes, ya conoces dos espacios vectoriales sobre los que has estado trabajando, el plano y el espacio . Pero ¿Qué es un espacio vectorial?, pues más o menos algo parecido a lo que has visto hasta ahora, un conjunto de objetos, sobre los que hay definida una operación suma (+) y sobre el que definimos el producto de un número cualquiera por uno de los objetos del conjunto (·). Si tenemos un conjunto V, decimos que V con las operaciones suma (+) y producto por un escalar (·) es un espacio vectorial si se cumplen las siguientes propiedades:

1.- Si x e y son dos elementos del conjunto V, entonces x+y=y+x.

2.- Si x, z e y son tres elementos del conjunto V, entonces (x+y)+z=x+(y+z).

3.- Existe un elemento del conjunto V que representaremos por 0 de forma que 0+x=x para todos los elemntos x del conjunto V. Lo llamaremos elemento neutro.

4.- Si x es un elemento del conjunto V existe otro elemento que representaremos por -x de forma que x+(-x)=0 para todos los elementos x del conjunto V.

5.- Si k es un número y x e y son elementos del conjunto V, entonces k·(x+y)=k·x+k·y .

6.- Si k y p son números, entonces k·(p·x)=p·(k·x) para todos los elementos x del conjunto V.

7.- Si k y p son números, entonces (k+p)·x=(k·x)+(p·x) para todos los elementos x del conjunto V.

8.- 1·x=x para todos los elementos x del conjunto V.

Así, en el conjunto de todos los vectores del plano, observamos que se cumplen todas estas propiedades ya que si consideramos los vectores , y y los números y , entonces:


1.- .

2.-

3.-El elemento neutro es , ya que

4.- Dado tenemos que ya que

5.-

 que es un vector de .

6.-

7.-

8.-

Esto mismo sucede en el espacio de tres dimensiones .

Es una definición demasiado teórica, por lo que vemos a verla con algunos ejemplos:

Ejemplo o ejercicio resuelto

Si consideramos el conjunto de todos los vectores del espacio que tienen la forma , es decir, que las dos primeras coordenadas son cero, vamos a ver si este conjunto con la operación suma de vectores y la operación del producto de un número por un vector, que ya conocemos, es un espacio vectorial.

Ejemplo o ejercicio resuelto

Si consideramos el conjunto de todos los vectores del espacio y definimos el producto de un número por un vector como

 vamos a ver si este conjunto con la operación suma de vectores y la operación del producto de un número por un vector definida, es un espacio vectorial.

AV - Pregunta de Selección Múltiple

Pregunta

De los siguientes espacios que te proponemos marca los que sean espacios vectoriales:

Respuestas

El conjunto de los vectores de cuya primera y tercera coordenadas son cero, con las operaciones suma de vectores y producto de un escalar por un vector que ya conoces

El conjunto de los vectores de cuya segunda coordenada es cero, con las operaciones suma de vectores y producto de un escalar por un vector que ya conoces

El conjunto de los vectores de cuya segunda coordenada es el doble que la primera, con las operaciones suma de vectores y producto de un escalar por un vector que ya conoces

El conjunto de los vectores de cuya segunda coordenada es 5, con las operaciones suma de vectores y producto de un escalar por un vector que ya conoces

Retroalimentación

Para saber más

El concepto de espacio vectorial se puede aplicar a múltiples conjuntos en matemáticas. Te proponemos que compruebes los dos siguientes puntos:

1.- El conjunto formado por el espacio cuyos vectores tienen la forma con la operación suma de vectores que conoces y te recordamos abajo, y el producto de un número por un vector que te recordamos, es un espacio vectorial:

1.1 Suma de vectores

1.2 Producto de un número por un vector

 

2.- El conjunto formado por las matrices de orden 3x3 con la operación suma de matrices y producto de un número por un matriz es un espacio vectorial