1.2 Vectores en el espacio
Al igual que has trabajado con los vectores en el plano, es decir, en dos dimensiones: componentes x e y. De forma análoga puedes trabajar con los vectores en tres dimensiones, cuyas coordenadas son: x(eje rojo), y(eje verde), z(eje azul). Vamos a empezar con la representación gráfica de puntos en el espacio, en la escena de abajo los puntos azules de los ejes marcan las coordenadas del punto A (en verde). Las lineas de trazo discontinuo muestran la forma de representar el punto A a partir de sus coordenadas. Si mueves los puntos azules de los ejes puedes obtener diversos puntos A con sus coordenadas. Moviendo el cursor del ratón con el botón izquierdo pulsado puedes rotar la escena y verla desde distintas perspectivas, puedes también hacer zoom con la rueda del ratón. Siempre puedes volver a la escena inicial pulsando sobre el icono de la parte superior derecha.
Ya sabes que, dados dos puntos del plano, las coordenadas del vector que une el primer punto con el segundo se obtienen restándole a las coordenadas del segundo punto las coordenadas del primero. En el espacio ocurre de la misma forma. Dados los puntos del espacio 
y 
el vector que va del punto A al punto B es: 
Que no es el mismo que el vector que va del punto B al punto A: 
REPRESENTANDO VECTORES: Observa en la escena que te proporcionamos en la que aparece dibujado sobre los ejes cartesianos el vector de coordenadas (2,3,3). Puedes girar la imagen pulsando y arrastrando. Si deseas puedes dibujar varios vectores distintos sin más que arrastrar los puntos azules sobre los ejes. Dibuja los siguientes vectores que te indicamos:
1.- (3,1,1)
2.- (1,1,1)
3.- (1,-2,1)
Recuerda que siempre puedes volver a la escena inicial pulsando en el icono de la parte superior derecha.
SUMA DE VECTORES: En la escena de abajo podemos observar cómo se realiza gráficamente la suma de dos vectores en el espacio de tres dimensiones. Al igual que en el de dos dimensiones, para sumar dos vectores de coordenadas 
y 
el vector suma (
) es el que resulta de sumar sus coordenadas correspondientes. En este caso:
AV - Actividad de Espacios en Blanco
Realiza las siguientes sumas de vectores y escribe el resultado de cada apartado en los huecos correspondientes que aparecen más abajo:
1.- (2, -3,5) y (1,0,1)
2.- (-2,4,6) y (3,1,0)
3.- (1,0,0) y (0,1,0)
4.- (2,1,4) y (-2, 1, -2)
El resultado de cada uno de los apartados que te hemos propuesto es:
RESTA DE VECTORES: En la escena de abajo podemos observar cómo se realiza gráficamente la resta de dos vectores en el espacio de tres dimensiones. Al igual que en el de dos dimensiones, para restar dos vectores de coordenadas y el vector resta () es el que resulta de sumar a 
el opuesto de 
(
). Esto también es equivalente a la resta de sus coordenadas:
AV - Actividad de Espacios en Blanco
Realiza la siguiente resta de vectores.
1.- Al vector (2,3,4) restarle el vector (2,1,0).
2.- Al vector (-2,0,1) restarle el vector (0,2,0).
3.- Al vector (0,0,0) restarle el vector (4,2,1).
4.- Al vector (1,1,1) restarle el vector (2,2,4).
PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR: Multiplicar un número por un vector es lo mismo que sumar el vector tantas veces como nos indique el número. Por este motivo, si tenemos un número k y un vector de coordenadas 
el resultado de multiplicarlos es:
En la escena de abajo puedes observar el resultado de multiplicar un número por el vector v(1,1,1).
AV - Actividad de Espacios en Blanco
Responde ahora a los apartados anteriores:
1.- Multiplicar el nº 2 por el vector (-1,2,0)
2.- Multiplicar 4 por el vector (-1,1,-1)
3.- Multiplicar 3 por el vector (2,-2,3)
4.- Multiplicar -2 por el vector (-1,1,3)
Ejemplo o ejercicio resuelto
|
Recopilatorio | Goles de porteros de fútbol
Vídeo alojado en Youtube
|
¿Crees que los porteros no marcan goles?, pues observa el siguiente vídeo. De todas formas, muchas son las cosas que hay que tener en cuenta a la hora de marcar goles desde tu propia portería. Nosotros nos vamos a centrar solamente en el saque del portero y en el remate que pueden hacer dos jugadores. En la imagen inferior observamos un portero que saca desde su portería en uno de los lances del partido. El portero, en su saque impacta el balón con una aceleración 
y cuando llega el balón a los jugadores, los dos rematan a la vez de cabeza cuando el balón llegaba parado. Uno lo hace con una aceleración 
y el otro con una aceleración 
. Si la masa del balón es 2:
 |
1.- Calcula la fuerza con la que el balón salió impulsado desde la portería.
2.- Calcula la fuerza con la que el balón salió impulsado tras el cabeceo de los dos jugadores.
Debes tener en cuenta que la aceleración de la gravedad es un vector vertical de coordenadas 
. Ojo, 
son las unidades de aceleración (metros entre segundos al cuadrado). La tercera coordenada es negativa debido a que la aceleración de la gravedad es hacia abajo, hacia la parte negativa del eje Z.
También debes tener en cuenta que si conocemos la masa 
de un cuerpo y la aceleración con la que lo impulsamos 
, la fuerza se calcula como el producto de la masa por la aceleración.