3. Otras aplicaciones de las derivadas

En la primera parte del tema, hemos tratado la representación de funciones y la interpretación de sus gráficas. En ella, hemos hecho uso de la derivada a la hora de estudiar la monotonía y la curvatura. Pero éstas, son sólo algunas de las aplicaciones de las derivadas, puesto que hay muchas más.

Las derivadas se aplican también en la resolución de problemas de otras áreas y ramas de conocimiento tan dispares como las Física, la Economía, la Medicina, en Tecnología Industrial, en muchos campos de la Ingeniería ...

Pero, espera un momento porque nunca viene mal un poco de reflexión y de pausa matemática en clave de humor.

"Romance de la Derivada n-ésima y el ArcoTangente"

Vídeo de narradores alojado en Youtube

¿Qué te ha parecido el vídeo? Simpático, verdad.

Tras este pequeño paréntesis, continuamos con el tema. Veremos a continuación un par de ejemplos de aplicación de las derivadas.

El primero es un problema de aplicación al campo de la Medicina (efectos de medicamento en pacientes).

Comenzamos ...

Caso práctico

Efectos del medicamento.

La función que mide la concentración de un determinado medicamento en el cuerpo de un paciente trascurridas t horas desde que se lo toma, viene dada por la siguiente expresión:

(a) ¿En qué intervalos horarios aumenta y disminuye dicha concentración?

(b) ¿A qué hora es máxima la concentración del medicamento en el cuerpo del paciente?

Retroalimentación

Vayamos por partes.

En primer lugar, acometeremos la resolución del problema sin hacer uso de la gráfica. Finalmente, daremos su gráfica que hemos dibujado con Wiris, tal y como se ha explicado en este apartado.

(a)

Respuesta: Por tanto, la concentración y el efecto del medicamento aumenta hasta la hora siguiente de haberlo tomado y disminuye a partir de ahí, hasta quedar sin efecto a lo largo del tiempo.

(b) Aquí tenemos dos opciones:

Opción 1: Obtener f''. Estudiar el signo de f'' en los puntos donde se anula f' (en t = 0 y en t = 1). Si nos da negativo en alguno de los dos, en ese valor habrá un máximo.

Opción 2: Más corta. Si interpretamos el apartado a) observamos que crece en el intervalo (0,1) y decrece desde t=1 en adelante. Por tanto, en t=1, la función f(t) alcanza su máximo.

Respuesta: La máxima concentración del medicamento en el cuerpo del paciente se produce pasada 1 hora desde que lo toma.

Para finalizar, indicamos su gráfica, donde se puede obtener de manera clara y simple, sólo con observarla, las respuestas a los apartados del problema planteado.

El segundo ejemplo de aplicación de las derivadas que vamos a trabajar pertenece al campo de la Economía-Marketing (venta de libros).

Comprueba lo aprendido

Venta de libros.

es la función que nos indica el número de ejemplares que se venden de un determinado libro en función de los días, t, transcurridos desde que dicho libro se puso en el mercado.

(a) ¿Cuántos ejemplares se vendieron el mismo día que el libro se puso a la venta?

Se vendieron Rellenar huecos (1): JXUwMDZjJXUwMDA0JXUwMDAw ejemplares.

(b) El intervalo de días en que las ventas aumentan.

Las ventas aumentan en el intervalo [ Rellenar huecos (2): JXUwMDY4 , Rellenar huecos (3): JXUwMDZjJXUwMDBj )

Crecen los primeros Rellenar huecos (4): JXUwMDZjJXUwMDBj días.

(c) La función V(t) alcanza un máximo relativo, que indica el día que mayor número de ejemplares se vende. ¿Para qué valor de t se obtiene dicho máximo? ¿Cuántos libros se vendieron ese día?

El día t = Rellenar huecos (5): JXUwMDZjJXUwMDBj se vendieron Rellenar huecos (6): JXUwMDZhJXUwMDA1JXUwMDA3JXUwMDA0 libros.

(d) ¿Cuántos días pasan hasta que no se vende ningún libro?

A los Rellenar huecos (7): JXUwMDY5JXUwMDAxJXUwMDAw días no se vende ningún ejemplar del libro.

Nota: Consideraremos que t=0 indica el día que el libro se pone a la venta.

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Para terminar con algunas de las aplicaciones de la derivada ya que podríamos seguir dando ejemplos durante un largo tiempo, os dejamos sendos vídeos de su aplicación a la Física que, concretamente, ilustran los siguientes conceptos:

· Velocidad como derivada de la distancia y,

· Aceleración como derivada de la velocidad.


Vídeo de Sergio T alojado en Youtube		Vídeo de IEDA de Sergio T alojado en Youtube


Gráfica Completa	Ventas el primer día (t=0)

Gráfica Crecimiento/Decrecimiento y Máximo en (48,2704)	Deben pasar t=100 días para que se vendan 0 libros