2.2. Funciones polinómicas y racionales

Apenas hemos iniciado el tema y ya has puesto en práctica una gran cantidad de conocimientos que poseías sobre las funciones y que has aplicado al ver su gráfica.

Además, hemos recogido en el cuadro-resumen del apartado anterior, un procedimiento que debes tener presente a la hora de abordar el análisis y la representación de la gráfica de cualquier función. 

Este punto lo dedicaremos única y exclusivamente a abordar la representación gráfica y el estudio de las funciones polinómicas y racionales.

 

Polynomial

Imagen de Stinging Eyes en Flickr. Licencia CC BY-SA 2.0

Importante

Una función polinómica es aquella cuya expresión es un polinomio. Su expresión general es:

Ya has trabajado con funciones polinómicas a lo largo del curso:

+ Las funciones polinómicas de grado 1 son las funciones lineales (sus gráficas son líneas rectas)

+ Las funciones polinómicas de grado 2 son las funciones cuadráticas (sus gráficas son parábolas)

Todas las funciones polinómicas presentan una serie de características, atributos, comunes. Es normal, la genética, también juega su papel en entre las funciones miembros de una misma familia. Son las siguientes:

 Características comunes a todas las funciones polinómicas
  • Su dominio de definición es el conjunto de los números reales,
  • Son siempre continuas
  • No tienen asíntotas de ningún tipo.
  • Cortan al eje OX, como máximo, un número de veces igual que el grado del polinomio.
  • Cortan al eje OY, en el punto (0,a0).
  • El número de máximos y mínimos relativos que tiene es, como mucho, igual al grado del polinomio menos uno.
  • El número de puntos de inflexión es, como máximo, igual al grado del polinomio menos dos.

 

A continuación vamos a efectuar la representación e interpretación de la gráfica de una función polinómica con ayuda de Geogebra para poner en práctica las características de las funciones polinómicas.

Vídeo de Luis Miguel Iglesias Albarrán alojado en Youtube.

Comprueba lo aprendido

Observa la gráfica de la función:

 función

y rellena los huecos en blanco, con los valores que correspondan.

 

1. El dominio de la función es

2. La función es continua en

3. Tiene asíntotas verticales y tiene asíntotas horizontales.

4. Cuando x → +∞ la gráfica de la función se acerca a (elige entre + o -) ∞

5. La gráfica corta al eje OX en puntos.

6. El máximo relativo de la función es el punto ( , )

7. El mínimo relativo de la función es el punto ( , )

8. Tiene un punto de inflexión en el punto ( , ) 

9. La función es (cóncava o convexa) en el intervalo (-∞, -0,25) 

 

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Importante

Una función es racional si es el cociente de dos polinomios. Su expresión general es:

Como bien sabes, los componentes de una misma familia comparten ciertos parecidos razonables sobre todo en sus rasgos físicos, los más perceptibles a primera vista.

Pues, de igual modo que ocurre en seres vivos y que hemos visto anteriormente que sucedía con las funciones polinómicas, en el caso de las funciones racionales, su imagen, es decir, sus gráficas, también comparten ciertas características comunes. Se enumeran a continuación:

Características comunes a todas las funciones racionales
  • Su dominio de definición es el conjunto de los números reales, menos las raíces del denominador, es decir,
Dom(f) = \ { , tales que Q(x)=0}
  • Son discontinuas en los valores de x que son raíces del denominador.
  • Poseen asíntotas verticale en cada raíz del denominador que no lo sea también del numerador.
  • También pueden tener asíntotas horizontales y oblicuas.

Comprueba lo aprendido

Haz una representación de la siguiente función usando Geogebra:

Finalmente, rellena las huecos en blanco.

1. El dominio de f, es \ { , }

2. f tiene discontinuidades de salto

3. Elige entre cóncava/convexa en la siguiente frase y completa el intervalo: f es en y es en (- ,+ )

4. f tiene un relativo en x=0

5. Elige entre creciente/decreciente y completa el intervalo: f es en ( ,3)

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Curiosidad

Antes de continuar con el tema, ¿por qué no nos pegamos frente al espejo unos buenos movimientos de baile practicando con la gráfica de algunas de las funciones más conocidas? ¿Te animas?



Vídeo de MatemáticasTV alojado en Youtube