Resumen

Una ecuación lineal con tres incógnitas es una ecuación de la forma:

a·x + b·y + c·z = d

Una solución de esta ecuación es un trío de valores; uno para x, otro para y y otro para z.

Cualquier ecuación con tres incógnitas tiene infinitas soluciones, pues basta darle un valor cualquiera a una incógnita (por ejemplo, "x"), otro valor a otra (por ejemplo, "y") y ajustar el valor que tiene que tener la tercera(sería en nuestro caso "z") para que se cumpla la igualdad.

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones lineales con varias incógnitas para el que se quiere encontrar una solución común. Es decir, una solución del sistema debe ser un conjunto de valores, uno para cada incógnita, que cumpla TODAS las ecuaciones.

Cuando un sistema está formado por una ecuación con tres incógnitas, otra con dos incógnitas y una última con una sola incógnita, decimos que es escalonado.

Para conseguir que el sistema sea escalonado utilizaremos procedimientos similares a los usados en el método de reducción.

El método de Gauss consiste en eliminar los elementos que se encuentran por debajo de la diagonal. Para ello se multiplican las filas por números adecuados para que al sumarlas se vaya el elemento deseado, tal como se hace en el método de reducción para eliminar una incógnita.

Atendiendo al número de soluciones del sistema, podemos realizar la siguiente clasificación:

• Sistema compatible determinado. Tiene una sola solución.
• Sistema compatible indeterminado. Tiene infinitas soluciones. Esto ocurre si al resolver el sistema, llegamos a la situación 0 = 0 y nos quedamos con menos ecuaciones que incógnitas.
• Sistema incompatible. No tiene solución. Esto ocurre cuando al aplicar el método de Gauss, llegamos a la situación 0 = k (con k un número distinto de cero).