2. Ecuación con tres incógnitas
Caso práctico
El otro día estaba mi hermana Ana en la tienda de Juan y mientras observaba la ropa de los estantes, escuchó la conversación entre Juan y un caballero.
- Juan: Bien pues entonces lleva usted calcetines, las camisetas y estas camisas.
- Caballero: Sí, exacto.
- Juan: Muy bien, pues son 52 euros.
Ana vio los precios de las ofertas y éstos marcaban: "calcetines: 1 €", "camisetas 6 €" y "camisas 18 €"
Entonces se preguntó, ¿cuánto habrá comprado de cada cosa?
Importante
Una ecuación lineal con tres incógnitas es una ecuación de la forma:
a·x + b·y + c·z = d
Una solución de esta ecuación es un trío de valores; uno para x, otro para y y otro para z.
Cualquier ecuación con tres incógnitas tiene infinitas soluciones, pues basta darle un valor cualquiera a una incógnita (por ejemplo, "x"), otro valor a otra (por ejemplo, "y") y ajustar el valor que tiene que tener la tercera(sería en nuestro caso "z") para que se cumpla la igualdad.
Comprueba lo aprendido
Contesta verdadero o falso a las siguientes cuestiones
Retroalimentación
Falso
Porque x está elevada al cuadrado
Retroalimentación
Falso
Porque aparecen multiplicando la "x" y la "y" en el término 8x·y
Retroalimentación
Verdadero
Hay tres incógnitas y una sola ecuación.
Retroalimentación
Verdadero
2 + 2·1 + 3·(-1) = 1. Efectivamente se cumple la igualdad y por tanto es solución.
Retroalimentación
Falso
-2·5 + 8·0 + 3·2 = -10 + 0 + 6 = -4. Como no es igual a 4, no cumple la ecuación y por tanto no es solución.
Si recuerdas, en el tema anterior, cuando queríamos encontrar soluciones de una ecuación con dos incógnitas, le dábamos valores a una de ellas y cálculabamos el valor que le correspondía a la otra haciendo que se cumpliera la ecuación.
Bien, pues ahora, como hemos comentado arriba, al tener tres incógnitas, tendremos que darle valores a dos de las incógnitas y calcular el que le corresponde a la tercera sustituyendo en la ecuación y despejando.
Por ejemplo, si tenemos la ecuación:
x + 2y - 3z = 4
y queremos calcular una solución, le damos por ejemplo, el valor 1 a la "y" y el 0 a la "z".
Así nos quedaría:
x + 2·1 - 3·0 = 4
de donde
x + 2 = 4
y por tanto x = 2, luego una solución sería: x = 2; y = 1; z = 0.
Si quisiéramos otra solución, bastaría con darle otros dos valores a dos letras y volver a sustituir y despejar. Por ejemplo, podemos ahora hacer que x valga 1 e y valga 0. Entonces:
1 + 2·0 - 3z = 4
de donde
1 - 3z = 4
y despejando, z = 3/(-3); o sea z = -1.
Luego otra solución sería: x = 1; y = 0; z = -1
Y así podríamos seguir de manera infinita, por tanto, existen infinitas soluciones, infinitos tríos para esta ecuación.