Problema.
Maximiza la función $z=f(x,y)=2x+3y$, sujeta a las restricciones:
$\left. \begin{array}{l} 3x+2y \le 6 \\ x+3y \le 6 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{array} \right\} $
Resolución gráfica.-
Determinamos las regiones definidas por el conjunto de restricciones. Para ello, representamos las rectas asociadas a cada una de las desigualdades:
(a) $3x+2y=6$. Hallamos dos puntos de la recta como son $(0,3)$ y $(2,0)$.
(b) $x+3y=6$. Procedemos de igual modo, obteniendo los puntos $(0,2)$ y $(6,0)$.
Evaluamos el punto $O:(0,0)$ sobre cada una de las desigualdades para determinar los semiplanos asociados a dichas restricciones.
Para el caso de la primera restricción:
$3x+2y \leq 6$, al sustituir el punto $O:(0,0)$ resulta válida la desigualdad ya que: $3·0+2·0\leq 6 \rightarrow 0\leq6 \rightarrow \text{ cierto}$.
Por tanto, el semiplano al que pertenece el punto O es el que determina esta desigualdad.
Lo mismo ocurre con la desigualdad $x+3y\leq 6$ y el punto $O$ ya que $0+3·0\leq6 \rightarrow 0\leq6\rightarrow \text{ cierto}$.
Como este punto verifica ambas desigualdades, señalamos los semiplanos que debemos elegir. Vemos esto en las siguientes figuras:
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El recinto factible de soluciones resulta ser el cuadrilátero OABC, cuyos vértices tienen las siguientes coordenadas $O(0,0);\ A=(0,2);\ B;\ C=(2,0)$.
Necesitamos hallar las coordenadas del punto B. Este punto pertenece a ambas rectas (a) y (b). Por tanto, si resolvemos el sistema de ecuaciones que nos proporciona ambas rectas, determinaremos sus coordenadas. Lo resolvemos por el método de reducción:
$\begin{matrix} 3x & +2y & =6 \\ -3x & -9y & =-18 \\ \hline \text{ } & -7y & =-12 \end{matrix} $
De donde: $-7y=-12 \rightarrow y={\large{\frac{12}{7}}} \rightarrow x+3·{\large{\frac{12}{7}}} =6 \rightarrow x=6-{\large{\frac{36}{7}}} \rightarrow x={\large{\frac{6}{7}}} $ y por lo tanto el punto B es: $B:\left({\large{\frac{6}{7}}};{\large{\frac{12}{7}}}\right)$
Evaluamos ahora la Función Objetivo en los vértices del cuadrilátero ABCD. El mayor de entre estos valores, nos dará la solución de nuestro problema. Como $z=f(x,y)=2x+3y$, sustituimos uno por uno los vértices O, A, B y C en dicha función, este es el procedimiento que hemos hecho hasta ahora, lo repetimos para compararlo con el método gráfico que se usa en apartado siguiente Curvas de Nivel:
$\left. \begin{array}{l} F_O=F(0,0)=2·0+3·0=0 \\ F_A=F(0,2)=2·0+3·2=6 \\ F_B=F \left({\large{\frac{6}{7}}},{\large{\frac{12}{7}}}\right)=2·\left({\large{\frac{6}{7}}}\right)+3·\left({\large{\frac{12}{7}}}\right)={\large{\frac{48}{7}}} \\ F_C=F(2,0)=2·2+3·0=4 \end{array} \right\} $
El valor máximo que alcanza la función $z=f(x,y)=2x+3y$, sujeta a las restricciones dadas, es $z_B={\large{\frac{48}{7}}}$ y se alcanza en el punto $B=\left({\large{\frac{6}{7}}},{\large{\frac{12}{7}}}\right)$, es decir, para los valores $x={\large{\frac{6}{7}}}, y={\large{\frac{12}{7}}}$.
La solución aplicando el método gráfico la puedes ver en el siguiente apartado curvas de nivel, tienes un enlace a geogebra para ver el proceso.