1.1 Estudio de la Correlación
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| Fotografía de Kevin Dooley en Flickr. Licencia CC |
¿Recuerdas las nubes de puntos del apartado anterior? Con ellas podíamos determinar si había algún tipo de relación o dependencia entre dos variables, y en ese caso decidir si la relación era positiva o negativa (al aumentar la primera, aumentaba o disminuía respectivamente la segunda).
Esta relación la definiremos como correlación. Y esta puede ser:
- Correlación funcional: si existe una relación funcional entre las variables X e Y. Es decir, podemos calcular los valores de Y a partir de los de X, con una función.
- Correlación positiva o directa: existe cierta relación entre ambas variables, y al aumentar los valores de X también aumentan los de Y.
- Correlación negativa o inversa: existe cierta relación entre las variables, pero al aumentar los valores de X disminuyen los de Y.
- Correlación nula: no existe ningún tipo de relación entre ambas.
Observa ahora las dos siguientes gráficas obtenidas al hacer el mismo estudio sobre dos poblaciones diferentes.
Como puedes ver, en ambas la correlación es positiva. Pero, ¿crees que en los dos casos existe la misma dependencia entre las variables? Por lo que se puede apreciar en las gráficas, en el Estudio A la dependencia parece ser más fuerte que en el Estudio B. Por tanto, debe existir alguna forma para medir la correlación.
A continuación, definiremos dos parámetros, la covarianza y el coeficiente de correlación lineal, que nos servirán para establecer esta medida.
Covarianza
Al igual que teníamos en el tema anterior medidas que nos ayudaban a interpretar los datos de una distribución unidimensional, en las bidimensionales tenemos la covarianza, que nos permite saber si la relación entre las variables es directa o inversa, y si dicha relación puede ser lineal o no.
Importante
La covarianza de una variable bidimensional (X,Y), que representaremos por 
, es una medida estadística que se calcula usando una de las expresiones:
| Tablas simples |
Tablas de doble entrada |
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donde 
indica el tamaño de la muestra.
Interpretación: El signo de la covarianza nos permitirá saber el tipo de correlación:
- Si la covarianza es positiva, la correlación será directa.
- Si la covarianza es negativa, la correlación será inversa.
En la siguiente presentación puedes ver cómo calcularemos la covarianza a partir de una tabla simple.
Vídeo de Mate316 alojado en Youtube
Si aún así las fórmulas te parecen muy complicadas, no te preocupes que seguro que con estos dos ejemplos lo vas a entender. En el primero tenemos una tabla simple, con únicamente cinco datos y en el segundo vamos a tener una tabla de doble entrada:
Caso práctico
En un estudio sociológico se está analizando el nivel de estudios de la población y el salario mensual de estos. Los datos obtenidos se reflejan en esta tabla:
| Nivel de estudios | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Salario medio (€) | 700 | 940 | 1.120 | 1.300 | 2.180 |
donde 1 = Sin titulación, 2 = Estudios secundarios, 3 = Técnicos de grado medio, 4 = Bachillerato y 5 = Técnicos superiores o licenciados.
¿Cuál es el valor de la covarianza?
Preguntamos a 50 alumnos sobre el numero de hermanos y el numero de asignaturas suspensas, En el ultimo trimestre. Los datos recogidos se han ordenado en la tabla:
¿Cuál es la covarianza?
Coeficiente de correlación lineal
También llamado coeficiente de correlación de Pearson es el parámetro que nos va a decir si la correlación es débil o fuerte, además de indicarnos también si es directa o inversa dependiendo de su signo.
Importante
Para calcularlo, necesitamos conocer el valor de las desviaciones típicas marginales de cada variable σx y σy, ya que su expresión viene dada por:
El valor del coeficiente de correlación lineal 
siempre será un número comprendido entre -1 y 1 
. Su signo nos indicará el sentido de la correlación (positiva o negativa) y mientras más próximo esté su valor a 1 o -1, más fuerte será la correlación.
Si elevamos al cuadrado el coeficiente de correlación lineal obtenemos el coeficiente de determinación r2, que determina la calidad del modelo para replicar los resultados. Siempre estará comprendido entre 0 y 1.
Interpretación: Según el valor de r, la correlación entre las dos variables será:
- r = 0 : No existe correlación (correlación nula).
- r = 1 : La correlación es perfecta y positiva (correlación funcional positiva).
- r = -1 : La correlación es perfecta y negativa (correlación funcional negativa).
- r próximo a 1 : La correlación es fuerte y positiva.
- r próximo a -1 : La correlación es fuerte pero negativa.
- r próximo a 0 : La correlación es débil.
Veamos cómo calcularla con el ejemplo anterior.
Presentación de Saúl Valverde en Slideshare. Licecia CC.
Importante
El signo del coeficiente de correlación, r, es el mismo que el de la covarianza. Así, calculando la covarianza ya podemos saber si la correlación es positiva o negativa.
Comprueba lo aprendido
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Caso práctico
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| Imagen de Teyssier Gwenaelle en Pixabay. Licencia CC |
Una de las enfermedades que más preocupó y más alarma social creó desde finales de los 80 y la década de los 90 fue el Sida, por lo desconocido, por la inexistencia de medicamentos y vacunas para la enfermedad y por la serie de personalidades famosas de todos los ámbitos que sucumbieron ante dicha enfermedad.
Tenemos los siguientes datos del comportamiento de esta enfermedad en la provincia de Sevilla. En la siguiente tabla, se muestra el número de casos producidos en la provincia desde el año 92 hasta 2007.
| Año | 1992 | 1993 | 1994 | 1995 | 1996 | 1997 | 1998 | 1999 | 2000 | 2001 | 2002 | 2003 | 2004 | 2005 | 2006 | 2007 |
| Casos | 141 | 187 | 266 | 273 | 220 | 175 | 140 | 138 | 98 | 111 | 96 | 95 | 67 | 74 | 50 | 22 |
De manera evidente se ve que el número de casos ha ido disminuyendo a lo largo de los años salvo algunos repuntes, pero, ¿este comportamiento es regular o es un poco aleatorio?