Biografías:
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Su
vida se desconoce por completo; sin embargo ha llegado hasta nosotros un texto
escrito por él llamado "La Aritmética". Comprende trece libros.
Nosotros tenemos seis, procedentes de un manuscrito del siglo XIII que es una
copia griega de otro más antiguo y de versiones posteriores. Se plantean y
resuelven 189 problemas de álgebra que hoy resolveríamos utilizando ecuaciones
de primer y segundo grado y sistemas de ecuaciones. Fue escrito como una serie
de ejercicios para ayudar a uno de sus estudiantes a aprender la materia. Utilizó
la notación algebraica sincopada, un estadio intermedio entre el álgebra retórica
y el álgebra completamente simbólica. No se conocen los símbolos usados con
exactitud pues no poseemos el manuscrito original. No tenía ningún método
general. Cada problema está resuelto de una manera distinta Pero hay una serie
de detalles que resultan muy llamativos:
Usa potencias superiores a tres. Lo cual desvincula su trabajo de planteamientos puramente geométricos.
Estudió las ecuaciones indeterminadas, con más variables que ecuaciones. Siendo el creador de una rama del álgebra: el análisis diofántico que actualmente solamente considera soluciones enteras. Un ejemplo es la búsqueda de las ternas pitagóricas.
El Libro II consta de 35 problemas. El problema 8, sin duda el más famoso, dio lugar al llamado "Teorema de Fermat". (II. 8 Descomponer un cuadrado en dos cuadrados).
Fermat, Euler, Lagrange y Gauss se basaron en esta obra para sus investigaciones sobre teoría de números. Sus obras también tuvieron una considerable influencia sobre Viete.
Sobre su tumba, a manera de epitafio uno de sus alumnos escribió el siguiente problema:
"Transeúnte, esta es la tumba de Diofanto: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte, su mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad."
Su
nombre completo era Abu Jafar Muhammad ibn Musa Al-Jwarizmi, que en
árabe significa “ Mohamed, hijo de Moisés, padre
de Jafar, el de Khorezm”. Es importante que en su nombre
completo se mencione el lugar de nacimiento pues esto significa que
era un hombre famoso. Actualmente su ciudad natal esta al sudeste del
mar de Aral, en Uzbekistán, territorio por el cual pasaba la
antigua ruta de la seda y que fue conquistado por los árabes
en el siglo VIII.
Nació entre los años 780 y 800 d.C. Hacia el 820, ejerció como bibliotecario en la “Casa de la Sabiduría” [ 1 ] , llevando a cabo recopilaciones del conocimiento matemático de griegos e indios, y como astrónomo, publicando unas tablas astronómicas que incluían las funciones trigonométricas seno y cotangente y llegaron a ser muy populares. Murió en Bagdad alrededor del 850 d.C.
Se conserva una versión latina del siglo XII de su Aritmética en la que introduce el sistema indú de numeración posicional [ 2 ] en base 10 y la utilización del cero como una cifra más.
Su obra más importante es su tratado de Álgebra, Hisab al-jabr w'al-muqabala, del cual se conservan un ejemplar en árabe y una traducción latina, Liber Algebrae et almuchabala. La introducción de este libro nos acerca a la importancia .....”Este interés por la ciencia, con la que Alá ha dotado al califa Al-Mamum, caudillo de los creyentes me ha animado a componer esta breve obra sobre el cálculo por medio del álgebra, en la que se contiene todo lo que es más fácil y útil en aritmética como por ejemplo todo aquello que se requiere para calcular herencias, hacer repartos justos y sin equívocos, resolver pleitos, realizar comercio y transacciones con terceros, todo aquello en donde esté implicada la agrimensura, la excavación de pozos y canales, la geometría y varios asuntos más”
Un matemático que no es también algo de poeta nunca será un matemático completo. (Karl Weiertrass)
Su
nombre completo era Ghiyath al-Din Abu'l-Fath Umar ibn Ibrahim
al-Nisaburi al-Khayyami, “el que hace toldos” o que
“instala las tiendas de la sabiduría”. Era hijo de
un fabricante de tiendas. Nació en Nishapur, Persia (actual
Irán) el 18 de mayo de 1048. Su obra Rubaiyat
escrita en cuartetas está considerada como una obra maestra de
la literatura. Es
fácil encontrar en la red información sobre este autor.
[ 3 ]
Se independizó pronto para dedicarse al estudio de la astronomía y las matemáticas. Trabó amistad con Nizam alMulk y Hassan ibn Sabbah y los tres amigos juraron ayudarse mutuamente si alguno de ellos llegaba a alcanzar algún cargo de poder. Así cuando en 1073 Nizam al-Mulk fue nombrado visir de de Isfahan, invitó a Omar a residir en la corte del sultán con el encargo de la reforma del calendario y de la dirección de la “Casa de las estrellas”, un observatorio recientemente construido.
Estableció la duración
del año en 365,24219858156 días una precisión
asombrosa para la época si se tiene en cuenta que actualmente
dicha duración se cifra en 365,242190 días. Perseguido
por la clase religiosa, acusado de que sus teorías no estaban
de acuerdo con la fe, cuando en 1092 murió el sultán de
Isfahan y su visir Nizam al-Mulk fue asesinado, Omar quedó sin
protección y fue destituido de su cargo en el observatorio. Su
calendario fue olvidado. Murió en Nishapur el 4 de diciembre
de 1122.
En lo referente al álgebra, Omar en su tratado sobre la Demostración de problemas de álgebra clasificó las ecuaciones de tercer grado para lo que aplicaba intersecciones de cónicas. Hizo conjeturas sobre ecuaciones que suponía que no podían resolverse con regla y compás que no se demostraron hasta 1837 y además fue un adelantado a su época al afirmar que estas ecuaciones podían tener más de una solución, encontrando hasta dos.
Intuyo la existencia de los números
irracionales y se planteó el problema del “postulado de
las paralelas” de Euclides haciendo aportaciones al nacimiento
de las geometrías no euclídeas, ¡ocho siglos
después!.
Nació
en Fontenay-le-Comte en 1540 (no se sabe la fecha exacta). De
familia adinerada tuvo una cuidada educación. Alos 15 años empezó a estudiar
derecho en la Universidad de Poitiers. Se licenció cinco años más tarde.
Ejerció con éxito en su ciudad natal.
En 1571 fue nombrado para el cargo de Letrado del Parlamento de París. Aquí estableció contactos con importantes matemáticos de la época, especialmente con Adriaan van Roomen. Viète trabajó como consejero de Enrique III hasta que éste presionado por las fuerzas católicas tuvo que abandonar París e instalarse en Tours, así que Viète se vió obligado a refugiarse en el campo. Los seis años que pasaron antes de que Enrique III fuera asesinado en 1589 fueron los más fructíferos de su creación matemática.
Al subir Enrique IV al poder, Viète fue nombrado consejero y criptoanalista y siguió trabajando en el desarrollo del álgebra. En 1591 hizo imprimir su obra más importante: In artem analyticam isagoge (introducción al método analítico). Se jubiló en 1602 con el reconocimiento del rey y murió el 23 de Febrero de 1603 en París. Aún hoy en día tiene escritos inéditos.
Trabajó en trigonometría y geometría pero sus trabajos más importantes fueron en álgebra. Especial importancia tuvo su logística speciosa pues supuso un cambio en la forma de trabajar de los algebristas al pasar de resolver casos particulares a razonar un método de trabajo para resolver casos generales. Su notación no era tan moderna como la que usamos hoy. Utilizaba el término in para el producto, encerraba entre llaves las expresiones de un mismo tipo y utilizaba la palabra aequale en lugar de nuestro signo =.
Girolano
Cardano nació en Pavía el 24 de septiembre de 1501. Hijo
de familia acomodada, se licenció en medicina en 1524 en Padua. Su curiosidad
le hizo indagar en la astrología y las matemáticas, iniciando un vida algo
turbulenta en la que combinaba las clases de matemáticas con la profesión de
astrólogo. Fue médico personal del
arzobispo de San Andrés en Escocia durante un año. En Italia ocupó una cátedra
en la Universidad de Bolonia, pero fue encarcelado por practicar la magia negra
en 1570. Fue liberado con la condición de no volver a ejercer como astrólogo
en ninguno de los Estados Pontificios. Volvió entonces a su oficio de médico,
se estableció en en Roma en 1571 y obtuvo el favor del Papa que le concedió una
pensión vitalicia por sus servicios como astrólogo. Falleció el 21 de
Septiembre de 1576.
Su
verdadero nombre era Nicolo Fontana [ 4 ]. Se
sabe que falleció en Brescia alrededor de 1500 y que su padre murió sin dejar
fortuna cuando Nicolo era todavía muy pequeño. La falta de recursos económicos
le convirtió, desde muy pequeño, en autodidacta. Aprendió sólo a leer,
escribir y a “meditar sobre la obra de los muertos”. Se dedicó a la enseñanza,
ejerciendo de profesor en Verona, Mantua y Venecia dónde murió el 13 de
diciembre de 1557. Sus problemas económicos hicieron que no aprendiera latín y
sus obras están escritas en italiano vulgar. Lo más destacable de su actividad
matemática eran sus enfrentamientos matemáticos públicos en los que conseguía
llenar su bolsillo gracias a su pericia. Se
abrió camino en Brescia y Verona como profesor de Matemáticas y calculista
público. En calidad de esto último efectuaba cálculos para
arquitectos, ingenieros, artilleros, comerciante, astrólogos, etc.
Ideó el triángulo que permite obtener los coeficientes del desarrollo binomial , llamado Triángulo de Tartaglia, que es la disposición numérica formada a partir de los coeficientes de los distintos desarrollos de la potencia n-ésima de un binomio cuando n toma sucesivamente los valores 0, 1, 2, 3, etc.…
(En esta imagen puede verse la regla de formación de los coeficientes para las sucesivas potencias de la suma)
Scipione del Ferro . Nacido en Bolonia el 6 de Febrero de 1465. Murió en la misma ciudad el 5 de Noviembre de 1526. Su papel en la historia de la Matemática tiene que ver con la resolución de la ecuación de tercer grado. Se educó en la Universidad de Bolonia que fue fundada en el siglo XI. Sus padres fueron Floriano y Filipa Ferro. Floriano trabajaba en la industria del papel, debido al invento de la imprenta en los '50. Fue profesor de Aritmética y Geometría en dicha universidad desde 1496 hasta el final de su vida. En sus últimos tiempos se dedicó a las transacciones comerciales.
No han sobrevivido escritos de del Ferro, ello se debe a la resistencia que tenía a divulgar sus trabajos, prefería comunicarlos a un reducido grupo de alumnos y amigos.
Tenía un anotador donde guardaba sus importantes descubrimientos. Este anotador pasó al yerno, Hannibal Nave, cuando del Ferro murió en 1526. Nave, que también se dedicó a la Matemática, lo reemplazó, cuando falleció, en la Universidad de Bolonia. Estaba casado con la hija de del Ferro, Filippa.
En 1543, Cardano y Ludovico Ferrari (un alumno de Cardano) viajan a Bolonia en busca de Nave y del anotador de su suegro, para analizar este tema. Según cuenta Ferrari, ambos se encontraron con Nave en Bolonia y éste les muestra el anotador manuscrito de del Ferro donde aparece la resolución de la ecuación de tercer grado.
Los matemáticos en la época de del Ferro sabían que el problema de resolver la ecuación general de tercer grado podía reducirse a x3 + mx = n y x3 = mx + n, con m > 0 y n > 0 (el término en x² podía siempre hacerse desaparecer con una adecuada sustitución). Por supuesto que si se hubiesen utilizado los coeficientes negativos, que no se usaban en esa época, habría un solo caso.
Hay conjeturas sobre si del Ferro trabajó sobre el tema como consecuencia de una visita que realizó Pacioli a Bolonia. Pacioli enseño en la Universidad de Bolonia entre 1501 y 1502 y discutió distintos temas matemáticos con del Ferro. No se sabe si trataron este tema, pero Pacioli lo incluyó en su famoso tratado Summa que había publicado 7 años antes. Algún tiempo después de la visita de Pacioli, del Ferro había resuelto seguro uno de los dos casos (quizás había resuelto los dos casos). En 1925, examinando manuscritos del siglo XVI, aparece que del Ferro da un método para resolver el caso: 3x3 + 18x =60.
Para Cardano, habría sido del Ferro y no Tartaglia el primero en resolver el tema de la ecuación de tercer grado, por eso publica en su obra Ars Magna. Cardano sostiene que lo que publica es el método de del Ferro y no el de Tartaglia. Cardano había prometido a Tartaglia no divulgar su método, que como veremos , Cardano había conseguido con una mentira.
Del Ferro, también hizo importantes contribuciones en la racionalización de fracciones extendiendo los métodos conocidos para denominadores con raíces cuadradas a denominadores con suma de 3 raíces cúbicas.
La disputa
El 2 de enero de 1539, Tartaglia recibe una carta firmada por Cardano en la que éste le comunica que está escribiendo una obra de álgebra en la que le gustaría escribir su nombre junto con el método de resolución de la ecuación de tercer grado. Tartaglia no estaba dispuesto. Cardano siguió insistiendo hasta que el 13 de marzo de ese mismo año invita a Tartaglia a su residencia en Milán con la promesa de presentarle al marqués del Vasto, mecenas y protector suyo. Tartaglia acepta la invitación esperando obtener algún beneficio económico. Después de múltiples ruegos y bajo la promesa de que el método quedará protegido, Tartaglia cede. Cardano se adjudicó el descubrimiento y lo publicó en su obra Ars Magna, haciendo tan sólo una pequeña referencia a Tartaglia. A partir de entonces surgen los insultos. Tartaglia reta a Cardano en numerosas ocasiones pero Cardano no acepta ningún desafío. Al final las influencias políticas de Cardano ganaron la partida y Tartaglia se vio obligado a desaparecer de la escena. La historia posterior es injusta al mencionar como “ecuaciones de Cardano” los sistemas de resolución que eran obra de Tartaglia.[5]
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NOTAS:
[1 ] “Casa de la Sabiduría”: Academia de Ciencias, análoga a la Biblioteca de Alejandría. Situada en Bagdad y creada por Harun ar-Rashid (personaje de los cuentos de “Las Mil y una Noches”). Allí se tradujeron al árabe obras científicas y filosóficas griegas e hindúes. También contaba con observatorios astronómicos. Este centro cultural tuvo un gran influencia en Occidente a través de España. También fue de aquí de dónde salió la primera expedición árabe para calcular la circunferencia de la Tierra. [Volver]
[ 2 ] numeración posicional: principio por el cual el valor de una cifra depende del valor que ocupa. Así la última posición (leyendo de izquierda a derecha) corresponde a las unidades, la anterior a las decenas, la anterior a las centenas , y así sucesivamente. Cada unidad de un orden es diez veces la unidad del orden inferior. La introducción del cero resuelve además el problema de indicar que no hay unidades de un cierto orden.[Volver]
[
3 ] Enlaces: sobre
Omar
Khayyam
http://amediavoz.com/khayyam.htm
http://www.oshogulaab.com/SUFISMO/TEXTOS/KAIYYAM1.html
[ 4 ] Tartaglia es en realidad un apodo con el que era conocido y que le viene del saqueo de Brescia por los franceses en 1521. A pesar de la protección de su madre, un soldado le hirió en la cara y desde entonces padeció tartamudez. Además su cara quedó desfigurada por lo que hubo de usar barba para disimular las cicatrices. [Volver]
[5] http://www.portalplanetasedna.com.ar/disputas_matematicas.htm
[6] Enlace interesante:
http://math.unipa.it/~grim/AlgebraMalisaniSp.pdf