3.2. Función inversa

Una vez la ropa limpia, seca y planchada, podemos volver atrás en el proceso. Es decir, arrugarla, mojarla y ensuciarla. Parece que sí, que los procesos son reversibles. Con la composición de funciones no siempre es posible, no todas las funciones tienen vuelta atrás. Para ello es necesario que cumplan algunas condiciones.

Fotografía en Flickr por cainSan bajo CC

Por ejemplo, la función sí es reversible en su dominio. Solo tenemos que pensar qué hace con cada número: transformarlo en su inverso. Es decir, la imagen de 2 es , y la de 5 es .

Piensa un momento, encontrar la función que deshace , que arruga, moja o ensucia, consiste en hallar la función que convierte en 2 y en 5. En general, que a lo convierte en x. Y dicha función es la misma .

Como hemos dicho, no todas las funciones son reversibles. Por ejemplo, una función constante . Todos los puntos tienen como imagen 3. Si quisiéramos dar la vuelta, ¿cómo lo haríamos? ¿A qué punto iría el 3? ¿Cuál sería el dominio de esta nueva función? ¡Vaya lío!

Actividad

Sean

dos funciones que cumplen que

Entonces decimos que y son inversas. A la función la representaremos como y a la función composición la llamaremos identidad.

Gráficamente una función es inversa de otra función cuando sus respectivas gráficas son inversas, es decir, son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Para comprender mejor la relación que existe entre la gráfica de una función y de su inversa, te puedes ayudar de la escena de GeoGebra que aparece al hacer clic en la siguiente imagen.

En ella se puede conseguir la expresión analítica y la gráfica de la inversa de funciones afines. Al tener este tipo de funciones unas gráficas muy sencillas (rectas) se puede apreciar la simetría respecto de la función , cuya gráfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.