2.1. Interpretación geométrica de la derivada

La derivada de una función en un punto tiene una interpretación geométrica. Observa la siguiente ventana e interactúa con ella moviendo los puntos A y B

Idea gráfica de derivada a una función en un punto.

Mueve los puntos A y B y observa

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Observa que la pendiente de la recta que pasa por y por es:

que lo hemos indicado en la imagen como pendiente de la recta secante que pasa por y por .

A medida que en la imagen aproximamos el punto al punto la recta secante que pasa por y se va acercando a la recta tangente a la función en el punto , por lo que la expresión

se va acercando a la pendiente de la recta tangente a la función en el punto . De esta forma tenemos que: Pendiente de la recta tangente a la función en el punto .

Generalizando lo anterior tenemos que:

 

Importante

Si tenemos una función , la derivada de la función en x=a, 

es la pendiente de la recta tangente a en el punto de abcisa .

 

De esta forma, si tenemos una función , su función derivada es la función que en cada punto toma el valor de la pendiente de la recta tangente a en ese punto.

El siguiente vídeo te explica gráficamente este hecho:

Concepto de derivada
Vídeo alojado en Youtube

Por tanto, la recta tangente a la función en el punto es: .

 

A la recta perpendicular a esta recta tangente en el punto se le llama recta normal. Así, la ecuación de la recta normal es: .

Hemos aplicado que la pendiente de una recta, m, y la de una recta perpendicular a ella, m', verifican que m·m'=-1. 

Derivada de la función seno.

Mueve el punto A a lo largo de la gráfica.

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AV - Actividad de Espacios en Blanco

Responde ahora a las siguientes preguntas:

El valor numérico de la pendiente de la recta tangente a la función de la gráfica anterior es en los puntos máximos.

El valor numérico de la pendiente de la recta tangente a la función de la gráfica anterior es en los puntos mínimos.

La función que resulta como función derivada es la función .

La pendiente de la recta tangente a la función en el punto es .

La pendiente de la recta normal a la función en el punto es .

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AV - Reflexión

Te proponemos ahora un ejercicio que ya has realizado en el apartado 1.3. de forma que observes qué pasa gráficamente.

Si tenemos la función  

Calcula los calores de y de para que la función sea derivable en . 

Ejemplo o ejercicio resuelto

Calcula el valor de para que la recta sea tangente a la función .