3. Funciones logarítmicas

Hay observatorios dedicados a recoger la intensidad de los terremotos, laboratorios con instrumentos capaces de medir la intensidad del sonido que percibe el oído humano, observatorios astronómicos con avanzados telescopios que captan la débil luminosidad de las estrellas más lejanas... Pero nosotros podemos desarrollar todas estas actividades a la vez, gracias a una herramienta muy particular: la función logarítmica.

Importante

Las funciones logarítmicas son funciones del tipo f(x)= logax, donde a es un número real postivo (a>0) y distinto de 1 (a≠1)

Vemos en la definición y como su propio nombre indica, que esta noción de función se basa en el logaritmo, luego deberíamos repasar este concepto y sus propiedades:

Comprueba lo aprendido

Manipulemos la siguiente escena de Geogebra para descubrir las principales características de la función logarítmica:

  1. El de la función logarítmica es (0,+∞)
  2. La función logaritmo siempre pasa por los puntos ( , ) y (a, )
  3. Si a>1, la función es
  4. Si a<1 la función es
  5. Tiene una asíntota vertical en .

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Las cosas se ponen serias, no siempre podemos percibir la belleza de la unión de Naturaleza y Matemáticas, a veces la realidad es más macabra. Estas son las dos caras de una misma moneda:

 

Vídeo de AGENCIA EFE alojado en Youtube

Precisamente la famosa escala de Richter, por la que se miden la intensidad de los terremotos obedece a la siguiente función logarítmica:

M = 0.67 log (0.37E) + 1.46

donde E es la energía del Seismo en kw/hora, y log representa el logaritmo en base 10 (es decir, logaritmo decimal).

Caso práctico

Mapa de Sismicidad de la Península Ibérica de www.fomento.es

La magnitud M de la escala Richter, se clasifica de la siguiente manera:

 

  • Menos de 3.5: Generalmente no se siente, pero es registrado.
  • 3.5-5.4: A menudo se siente, pero sólo causa daños menores.
  • 5.5-6.0: Ocasiona daños ligeros a edificios.
  • 6.1-6.9: Puede ocasionar daños severos en áreas muy pobladas.
  • 7.0-7.9: Terremoto mayor. Causa graves daños.
  • 8 o mayor: Gran terremoto. Destrucción total a comunidades cercanas.


Esta escala es "abierta", de modo que no hay un límite máximo teórico, salvo el dado por la energía total acumulada en cada placa, lo que sería una limitación de la Tierra y no de la Escala. A continuación, puedes ver un mapa de las zonas más "conflictivas" en la Península.

Si en la provincia de Granada, se registró un terremoto de 8117274 kw/h:

  1. ¿Cuál es su magnitud en la escala de Richter?
  2. ¿Qué efectos causa en el medio y en la población?

Curiosidad

Los logaritmos están presentes en la Naturaleza a través de la espiral logarítmica. Pero... ¿puede ser una espiral una función? Podemos anticipar que no, pero para dar una explicación quizás debamos repasar la noción de relación funcional entre dos variables del tema 1.

Imagen de Raúl Villalón en Flickr. Licencia CC by-nc-nd 2.0

Para saber más

Todas las calculadoras científicas disponen de teclas específicas para calcular el logarítmo.

Por ejemplo, una tecla similar a la de la imagen izquierda, nos permite calcular el logarítmo en cualquier base de un número. Para ello, debemos pulsar la tecla, después la base, y a continuación el número. Es decir, si queremos saber el log381, pulsamos la tecla logaritmo, después 3, a continuación 81, y la calculadora nos devolverá el número 4.

 

Para los logaritmos en bases 10 y e, las calculadoras suelen tener unas teclas específicas. En las dos imágenes siguientes aparecen representadas dichas teclas.

logarítmo decimal, base 10

 logarítmo neperiano, base e