2. Funciones exponenciales

En temas anteriores hemos estudiado la función f(x)=x2, es un tipo de función donde interviene una potencia, siendo la base una variable y el exponente una constante (en este caso dos). La llamábamos función cuadrática. ¿Pero qué ocurre si cambiamos los papeles y la base es una constante y el exponente una variable? Obtendríamos una función g(x)=2x, llamada función exponencial.

Importante

Las funciones del tipo f(x)=ax; donde a es un número real positivo (a>0) y distinto de 1, se llaman funciones exponenciales.

 

Comprueba lo aprendido

Vamos a comparar la función cuadrática anterior f(x), con la función exponencial g(x). Rellena los espacios en blanco, con estos valores que le asociamos a la variable independiente x:
x f(x)=x2 g(x)=2x
0
1
-1
2
10

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Comprueba lo aprendido

La siguiente escena de GeoGebra permite representar las funciones exponenciales f(x)=ax. Ayúdate de ella para completar los siguientes espacios en blanco, donde se expresan algunas propiedades de este tipo de funciones.

  1. Para que f sea una función exponencial a no puede ser ni 0 ni , pues para esos valores la funión es una semirecta y una recta respectivamente.
  2. El dominio de la función exponencial no depende de a y es
  3. La imagen de 0 siempre vale
  4. La función es creciente si a es mayor que
  5. La función es decreciente si a es menor que
  6. f tiene una asíntota horizontal en .

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Caso práctico

 

Algunas bacterias se reproducen por mitosis, es decir, se dividen en dos cada pequeño intervalo de tiempo, dejando la misma carga de ADN en ambas partes. Vamos a imaginar que trabajamos en un laboratorio y estamos estudiando este tipo de bacterias. No es que la vida de millones de personas dependa de nosotros, pero formamos parte de un proyecto secreto...

Si estas bacterias se dividen cada 15 minutos y al principio del día sólo hay una ¿cuántas habrá al final del día?

 

 

Importante

Una función exponencial muy utilizada es f(x)=ex, siendo e= 2,718281... Estas funciones aparecen con mucha frecuencia en problemas económicos, biológicos, químicos...

En el tema anterior hemos visto la suma de funciones, si una de las funciones es una constante, el efecto que se produce al sumarla a otra función es un desplazamiento o traslación de su gráfica.

En las dos imágenes siguientes se puede apreciar cómo se ha desplazado la gráfica de la función f(x)=ex al restarle la función constante 2, g(x)=2.


 

Comprueba lo aprendido

En las siguientes tablas, vamos a recoger algunos valores de las siguientes funciones exponenciales: y=5x, y=5x+3, y=5x-2, y=5x+3, y=5x-2.

x y=5x
y=5x +3
 y=5x -2
-2
-1
0
1
2

x y=5x y=5x+3 y=5x-2
-2
-1
0
1
2

Al representar las funciones y=5x+3 e y=5x-2 se observa que son traslaciones de la gráfica y=5x.

Al representar las funciones y=5x+3 e y=5x-2 se observa que son traslaciones de la gráfica y=5x.

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Para saber más

El número e es un número especial, aunque aquí lo vemos asociado a la función exponencial, su nombre no viene de la inicial de esta palabra. Recibe su nombre del famoso matemático Leonhard Euler.

Curiosidad

Albert A. Barlett (1923) eminente profesor de Física de la Universidad de Colorado aseguró en cierta ocasión

"El mayor defecto de la raza humana es nuestra incapacidad para comprender la función exponencial"

Curiosidad

¿Recordáis la película de Jurasic Park? Unos científicos obtuvieron ADN de dinosaurios de unos mosquitos de la época de los grandes reptiles, conservados en ámbar. Pero... ¿cómo sabían que los mosquitos eran de esa época? Si se tratara de un estudio real, podríamos suponer que habrán utilizado métodos de datación como el de carbono 14. Precisamente este método (junto con otros métodos de datación radiactiva) siguen una función exponencial, con un parámetro diferente para cada elemento radiactivo, pero similares en su estructura:

N=N0·e-λt
 
donde t sería el tiempo, en tanto que N y N0 son variables dependientes de número de átomos en cada momento.