3. Extremos (máximos y mínimos)

Estamos acostumbrados a oír hablar de temperaturas máximas y mínimas todos los días en las noticias. De hecho, es una frase muy habitual la de "se ha alcanzado una máxima de 40º de temperatura". En la siguiente gráfica, de la AEMET, en la que podemos ver la temperatura que ha hecho en Málaga desde las 19h del 13 de abril a las 18h del día siguiente. Puedes comprobar que:

La temperatura máxima se alcanza a las 14h del 14 de abril (25,6ºC)
La temperatura mínima se alcanza a las 6h y a las 8h del 14 de abril (13ºC)
A las 7h del 14 de abril hay un máximo relativo, pues es la temperatura más alta en un pequeño periodo de tiempo (de las 6 a las 8h).

Para poder averiguar la temperatura máxima o mínima necesitamos una tabla de datos observados o una gráfica como la anterior, pues la temperatura local no la podemos expresar con una función derivable.

Veamos por tanto qué ocurre en la siguiente función, y comparemos con su derivada:

A la izquierda tenemos una función f(x) y a la derecha su derivada f '(x).

Mínimo: si te fijas en los dos mínimos, a su izquierda la función es decreciente y a la derecha es creciente ¿qué quiere decir eso para la derivada? Como vimos en el apartado anterior, equivale a que a la izquierda la derivada es negativa y a la derecha positiva (como puedes ver en la gráfica de la derivada). Pues si en ese punto la derivada pasa de negativa a positiva, quiere decir que debe ser nula.
Máximo: en el máximo pasa algo parecido, pero en este caso pasamos de función creciente a decreciente, es decir, de derivada positiva a negativa. Al igual que antes, en ese punto la derivada debe ser nula.

Importante

Imagen de elaboración propia

Si una función tiene un extremo relativo en el punto x=a y, en él, existe la derivada, entonces se cumple que f'(x)=0.

Los puntos que anulan la primera derivada reciben el nombre de puntos críticos y, entre ellos, pueden estar los extremos relativos de una función.

El problema se plantea en que no siempre se cumple lo contrario de lo que aparece anteriormente. Una función puede anular su derivada en un punto y sin embargo no tener en él un extremo relativo. Por ejemplo, la función f(x)=x³ siempre es creciente, mientras mayor es x mayor es la función, por tanto, no tiene extremos. Sin embargo, su derivada en el punto x=0 vale cero. Por ello vamos a ampliar las condiciones anteriores con nuevos datos.

Importante

Si la función f(x) tiene derivada nula en el punto x=a, f'(a)=0, y existe la segunda derivada en dicho punto se cumple:

Si f''(a)<0, la función tiene (o alcanza) un máximo relativo en x=a.

Si f''(a)>0, la función tiene (o alcanza) un mínimo relativo en x=a.

Imagen de elaboración propia

Como puedes observar seguimos dejándonos casos atrás, porque en lo anterior no se dice nada sobre qué ocurre si f''(a)=0. Además puede haber funciones que tengan extremos relativos y su derivada primera no se anule porque no exista la derivada de la función en ese punto. Por ejemplo, eso le ocurre a la función f(x)=|x²-3x| en los puntos en los que tiene mínimos relativos, como puedes apreciar en la imagen.

Por ello, en general, lo más cómodo es estudiar el signo de la primera derivada (en aquellos puntos en los que exista) y tener presente las siguientes definiciones:

Una función alcanza un máximo relativo en un punto si en él pasa de ser creciente a decreciente.

Una función alcanza un mínimo relativo en un punto si en él pasa de ser decreciente a creciente.

Curiosidad

Como la derivada de una función en un punto también representa la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto, la monotonía y los extremos de una función se pueden explicar a partir de la pendiente de la recta tangente. Si quieres saber más, visita la web de Manuel Sada.

Para que veas cómo podemos hallar máximos y mínimos con la derivada, mira el siguiente ejercicio resuelto.

Extremos

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Caso de estudio

Halla los extremos relativos de la función que estudiamos en el ejemplo del apartado anterior $f(x) = \frac{x^2}{x+1}$

Retroalimentación

Vamos a estudiarlo de las dos formas posibles. En primer lugar utilizando la segunda derivada.

Habíamos hallado la primera derivada

$f'(x) = \frac{x^2 +2x}{(x+1)^2}$

y habíamos estudiado que se anula en x=0 y en x=-2.

Hallamos la segunda derivada.

$\begin{array}{rcl} f''(x) & = & \frac{(2x +2) \cdot (x+1)^2 - (x^2 +2x) \cdot 2(x+1)}{(x+1)^4} = \frac{2(x+1) \cdot (x+1)^2 - (x^2 +2x) \cdot 2(x+1)}{(x+1)^4}= \\ & = & \frac{2(x+1) \cdot \left((x+1)^2 - (x^2 +2x) \right)}{(x+1)^4} = \frac{2(x+1) \cdot (1)}{(x+1)^4} = \frac{2}{(x+1)^3} \end{array}$

Debemos observar que solo nos interesa el signo de la segunda derivada, no su valor.

f''(0)>0, por tanto tenemos un mínimo relativo en el punto (0,f(0))=(0,0). Recuerda que para obtener la segunda componente siempre se sustituye el valor de x en la función, no en las derivadas.

f''(-2)<0, por tanto tenemos un máximo relativo en el punto (-2,f(-2))=(-2,-4).

Sin embargo creemos que es más fácil estudiando la variación del signo de la primera derivada. Recuerda lo que hicimos en el apartado anterior.

Podemos observar claramente que en el puntos x=-2 pasa de ser creciente (f'(x)>0) a ser decreciente (f'(x)<0), luego hay un máximo relativo. Y en el punto x=0 pasa de ser decreciente a convertirse en creciente, por lo que existe un mínimo relativo.

Actividad de rellenar huecos

En la función que estudiaron Ángela y Andrés en el apartado anterior,

, interesa saber dónde están los extremos relativos pues suelen coincidir con lugares en los que se instalan luces ambientales.

Ejemplo o ejercicio resuelto

La potencia f(x) en vatios consumida por cierto aparato eléctrico, en función de su resistencia (x) en ohmios viene dada por la expresión:

$f(x)=\frac{4x}{(x+12)^2}$

Hallar la potencia máxima y el correspondiente valor de x.

Ejemplo o ejercicio resuelto

Prueba de Acceso a Grados para Mayores de 25 años - Año 2007

Halle los máximos y mínimos relativos de la función f(x)=x³-9x. Determine también en qué intervalos es creciente y decreciente la función.

Caso de estudio

Sea $f: \ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ la función definida por $f(x)=\begin{verbatim} Ln \end{verbatim}$x^2+1$$ , siendo Ln la función logaritmo neperiano.