6. Variables aleatorias continuas

Ya vimos en el tema anterior que una variable aleatoria es continua si al realizar el experimento aleatorio, entre cada dos valores, el número de valores que puede tomar es infinito. Por ejemplo, la altura de una persona, la longitud del dedo índice, el peso de un perro o el caudal de un río...

Del mismo modo que entre las variables discretas hemos introducido el modelo binomial, entre las variables continuas vamos a introducir un modelo al que se ajusta un gran número de variables de nuestro entorno. Este modelo se va a llamar distribución Normal, y su nombre se debe ni más ni menos a que la gran mayoría de variables que se refieren a aspectos físicos, psicológicos, sociológicos, biológicos, etc. se ajustan a este modelo, o sea, que lo normal, es que sea una variable Normal.

La distribución Normal se expresa por , donde el primer parámetro , representa la media de la variable aleatoria y la desviación típica, y la representación de su función de densidad es una campana de Gauss:

En el caso particular de que la sea media 0 y desviación típica 1, es decir, , la llamamos distribución Normal estándar y la designamos por .

Esta distribución Normal estándar la utilizaremos para calcular probabilidades de variables aleatorias que se distribuyen según una Normal, independientemente de su media y su desviación. Pero antes de dar este paso hay que saber cómo calcular las probabilidades asociadas a esa Normal estándar, para lo que utilizaremos una tabla donde se recoge con , que es el área encerrada debajo de la campana de Gauss para valores inferiores a :

La siguiente presentación te será muy útil para aprender el manejo de dicha tabla:

Resumiendo para calcular la con y , solo debemos acudir a la tabla. Pero, ¿qué ocurre cuando aún distribuyéndose según una queremos averiguar o con , incluso la combinación de ambas cosas?

Para memorizar estas "fórmulas" solo tienes que racionalizarlas, recurriendo a su interpretación geométrica. A esto te puede ayudar la siguiente escena de Geogebra que además está acompañada de la tabla de la distribución normal, para que contrastes los resultados.

Haz clic en la imagen para abrir la escena

Por último, en el caso en el que no trabajemos con la Normal estándar, sino que nos den una media distinta de 0 o una desviación típica distinta de 1, tendremos que recurrir a la tipificación de la variable . Este proceso consistirá en convertir una variable que se distribuye según una Normal en una Normal estándar , para lo que restaremos a la variable y dividiremos entre , esto es:

Si entonces .

Puedes practicar este proceso con las siguientes actividades de pruebas anteriores: