1.4 Magnitudes lineales y angulares

Vamos a mostrar a modo de resumen las ecuaciones de los diferentes movimientos que hemos estudiado hasta ahora así como las de los MCU y del movimiento circular uniformemente variado. Podrás observar que son muy similares.

Movimiento rectilíneo y uniforme	Movimiento circular uniforme.

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado	Movimiento circular uniformemente acelerado

Una partícula cuando se mueve sobre una circunferencia describe un ángulo pero también recorre un espacio sobre su trayectoria. ¿Existe alguna relación entre ambas magnitudes? Sí y es muy sencilla de obtener. Vayamos a un caso particular. Imagina que el móvil ha dado una vuelta completa. El espacio que habrá recorrido es justo la longitud de la circunferencia, es decir:

Como vemos el espacio es el producto del ángulo completo por el radio. Si en vez de haber dado una vuelta completa, hubiera dado media entonces el espacio recorrido sería:

De nuevo el producto del ángulo correspondiente a media circunferencia por el radio. En el caso de que se haya batido un ángulo cualquiera, el espacio recorrido será:

Esta misma relación se da entre las velocidades y las aceleraciones:

En el caso de la aceleración podemos distinguir entre la tangencial y la normal:

Ejemplo o ejercicio resuelto

Un tractor se mueve con velocidad constante de 5 m/s en línea recta.

¿Qué tipo de movimiento lleva un punto de la cubierta del neumático de una de sus ruedas?
Si las ruedas traseras tienen un diámetro 1,60 metros , ¿con qué velocidad angular girarán?
¿Y las ruedas delanteras si su diámetro es de 1 metro?
Mientras las ruedas traseras dan una vuelta, ¿cuántas vueltas dan las ruedas delanteras?

Retroalimentación

Supondremos que las ruedas de nuestro tractor no patinan ya que si patinasen no podríamos resolver el problema. En este caso, para que el tractor avance, las ruedas tienen que girar y cuanto más rápido lo hagan más rápido se desplazará el tractor. Piensa por un momento en el punto del contorno de una de las ruedas que toca el suelo. Al girar hacia atrás el tractor avanza hacia delante. El espacio que recorre ese punto de la rueda es el mismo que recorre el tractor. Por lo tanto la velocidad lineal de un punto del contorno de la rueda, coincide con la velocidad del tractor. Como la velocidad del tractor es constante, la velocidad lineal de los puntos del contorno de la rueda también. Esto quiere decir que esos puntos se mueven por una circunferencia a un ritmo constante. En otras palabras, se mueven con un MCU.

Claro que si conocemos la velocidad lineal de un punto del contorno de la rueda, ya podemos junto con el radio, calcular la velocidad angular. Es lógico que la rueda delantera al ser más pequeña tenga que girar más rápido. Veamos si los cálculos nos dan la razón.

Como los radios de las ruedas traseras y delanteras son respectivamente 0,80 m y 0,50, las velocidades angulares serán:

Efectivamente la rueda delantera gira más deprisa.

Para responder al último apartado tenemos que hacer uso de la ecuación ángulo-tiempo para un MCU:

Queremos saber las vueltas que da la rueda delantera mientras da una vuelta la rueda trasera. Tenemos dos ecuaciones, una para cada rueda.

La velocidades angulares las conocemos y el ángulo recorrido por la rueda trasera también, el que corresponde a una vuelta completa, es decir, 2radianes. Si sustituimos estos datos tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

De la segunda ecuación podemos despejar el tiempo y sustituirlo en la primera para saber qué ángulo gira la rueda delantera: