2. Variable aleatoria continua. Función de densidad

Si haces un poco de memoria, recordarás cómo, en el tema anterior, clasificamos las variables aleatorias en dos grandes grupos: variables aleatorias discretas y variables aleatorias continuas

Las variables discretas eran las que tomaban valores aislados mientras que las continuas eran las que podían tomar cualquier valor entre dos concretos, es decir, puede tomar valores "tan juntitos" como queramos.

Ejemplo de variable discreta: Si lanzamos un dado normal de 6 caras y miramos el resultado obtenido sólo puede tomar los valores: 1,2,3,4,5 y 6 (valores aislados).

Ejemplo de variable continua: Si observamos los datos de velocidad (en km/h) de los vehículos que pasan por un radar fijo colocado en una autopista durante un fin de semana, comprobaremos que tenemos muchísimos valores distintos. (120,1 117,8 114,3 114,31 112,9 ...) (valores continuos, algunos casi idénticos).

Al igual que ocurre siempre con las matemáticas, situaciones como ésta hacen que sea necesario "inventar" otro objeto matemático nuevo, en este caso, otro tipo de variables aleatorias, puesto que las variables discretas no nos permiten manejar situaciones como la comentada del radar. Estas nuevas variables seran las variables aleatorias continuas.

Ya hemos visto, que es muy difícil encontrar, en una toma datos, un valor que sea idéntico a uno propuesto por nosotros.

Pero, ¿y si en lugar de preguntarnos por un valor suelto (aislado), nos preguntamos por la probabilidad de que ocurra un grupo (intervalo) de valores?

Pues la respuesta es que la situación cambia bastante. Vamos a verlo:

Observa con detenimiento el diagrama de barras representado a la derecha.

Lo que hemos hecho es agrupar los datos de la tabla anterior en 4 intervalos de 5 km/h de amplitud, contar cuántas velocidades caen en cada uno de ellos y, finalmente, representarlos.

Gracias a esta representación, es bastante sencillo, por ejemplo, responder a cuestiones del tipo:

a) Obtener la probabilidad de que al elegir una velocidad al azar, ésta se encuentre entre 110 y 115 km/h.

Basta con mirar el histograma, para responder que, la probabilidad pedida es 9/40.

b) Calcular la probabilidad de que una velocidad, tomada al azar, sea menor o igual que 120 km/h.

De la forma que tiene el histograma, deducimos que la probabilidad pedida es 32/40.

¿Fácil, verdad?

Pues demos un paso más hacia adelante. Como habrás observado, estas probabilidades obtenidas no son más que las frecuencias relativas, así que en lugar de usar el gráfico anterior, vamos a fijarnos ahora en el de frecuencias relativas (probabilidad).

Pues bien, en una variable aleatoria continua, para calcular probabilidades necesitamos una función que llamaremos función de densidad de la variable. Esta función, tiene un papel similar al polígono de frecuencias.

Gracias a ella, las probabilidades en una variable aleatoria continua se calculararán obteniendo cuánto vale el área del recinto que queda bajo esta función y el eje OX.

En las siguientes imágenes vemos:

- En la izquierda, está representada la función de densidad de nuestra variable. Simplemente, lo que se hemos hecho es construir el polígono de frecuencias a partir del diagrama de barras mostrado anteriormente.

- A la derecha, se ha "suavizado" el polígono de frecuencias de la imagen anterior. Hemos tomado intervalos "muy pequeñitos de velocidad" (puntos, muy juntitos), lo que ha permitido corregir "los picos" y ¡¡sorpresa!!, ¿qué obtenemos? Efectivamente, una campana. Pues ésta realmente es la verdadera función de densidad de nuestra variable.