3.1. Ecuaciones de la recta

La ecuación de una recta es una expresión analítica que permite identificar todos los puntos de la recta y conocer sus coordenadas.

Vamos a determinar la ecuación de una recta, a partir de un punto, , que pertenezca a ella y de un vector director, , que esté en la dirección de la recta.

Escena de iedamatematicas en geogebra.org

Comprueba lo aprendido

Manipula el applet de Geogebra anterior e indica Verdadero o Falso, según corresponda:

Pregunta 1

(1) Es posible obtener una recta horizontal sin modificar el vector .

Pregunta 2

(2) Podemos lograr que la recta pase por el origen de coordenadas, (0,0), sin modificar el vector .

Pregunta 3

(3) Es posible obtener una recta horizontal sin modificar la posición del punto P.

Pregunta 4

(4) Podemos conseguir que la recta pase por el origen de coordenadas, (0,0) sin variar la posición el punto P.

Usaremos una u otra ecuación para expresar la recta, en función de la información que conozcamos de la misma:

Se pueden presentar distintos casos. Destacamos los siguientes:

Todas los tipos de ecuaciones, así como las transformaciones que nos permiten pasar de una a otra se recogen en la siguiente tabla:

 

DISTINTAS MANERAS DE EXPRESAR LA ECUACIÓN DE UNA RECTA.

Introducción.

Por dos puntos del plano pasa una y sólo una recta.

Por tanto, una recta queda determinada, o bien, :

· Conocidos dos puntos pertenecientes a ella, o,

· Conocidos un punto y un vector director de la misma. El vector director es cualquier vector que una dos puntos de dicha recta.

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Ecuación de una recta.

La ecuación de una recta es una expresión que nos permite calcular las coordenadas de cualquiera de sus puntos.

Sea una recta r que tiene como vector director y pasa por un punto .


Si es un punto cualquiera de la recta, este se obtendrá como suma del vector de posición del punto , más un múltiplo del vector vector director de la recta, . Si expresamos ésto matemáticamente, tendremos una ecuación que se conoce con el nombre de Ecuación Vectorial de la recta:   (t es un parámetro, que en otros materiales didácticos puedes encontrar también, comunmente con la letra , depende del autor. Aquí se ha optado por la letra t). 

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Distintas maneras de expresar la ecuación de una recta.

La Ecuación Vectorial es la ecuación desde la que partiremos para obtener el resto de tipos de ecuaciones con las que se puede expresar una recta.

 

1º) Partimos de la ecuación vectorial, la cual expreseamos en coordenadas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

2º) Separamos en dos ecuaciones, una para la componente "x" y otra para la componente "y", quedando:
 
 
 
 

ECUACIÓN PARAMÉTRICA

 

3º) Despejamos "t" en ambas ecuaciones e igualamos:
\frac{x-xo}{a} = \frac{y-yo}{b}
ECUACIÓN CONTINUA

 

4º) Realizamos los productos cruzados:

Operamos y pasamos todo al primer miembro:

Sustituyendo: A=b, B=-a y C=, obtenemos:

 
Ax+By+C=0
 ECUACIÓN GENERAL

 

5º) Pasando las "y" hacia el primer miembro y las "x" hacia el segundo, obtenemos:

Observamos que: donde α es el ángulo que la recta forma con el eje de abscisas y m la pendiente, inclinación de la recta.

 
ECUACIÓN
PUNTO-PENDIENTE

 

6º) Y, finalmente, operando en la ecuación anterior:

, y llamando  
y=mx+n
 ECUACIÓN EXPLÍCITA
 

Importante

+ Caso 1. Conocemos un punto y su vector director, que indica la dirección de la misma.

+ Caso 2. Conocemos dos de sus puntos. Con estos puntos podemos formar su vector director y estaríamos en el Caso 1.

           * Caso 2.1. Conocemos los dos puntos de corte, tanto con el eje OX como con el eje OY. Da igual qué puntos sean. En definitiva, conocemos dos puntos de ella, es decir, estaríamos en el Caso 2.

+ Caso 3. Conocemos un punto de ella y su pendiente, es decir, la inclinación de la recta con respecto al eje OX.

           * Caso 3.1. Conocemos su pendiente y el punto de corte con el eje OY. Al fin y al cabo, conocemos un punto y su pendiente luego, estamos en el Caso 3.

Applet de Geogebra de Luis Miguel Iglesias. Ecuaciones Vectorial y Paramétricas de una recta.

Comprueba lo aprendido

Completa los huecos que faltan en las siguientes afirmaciones:

(1) La ecuación general de la recta que pasa por el punto P = (4,1) y su vector director es =(3,1) es:

x + y + = 0

 

(2) La ecuación implícita, de la recta anterior, es:  y = / x - /

 

(3) La ecuación continua de la recta que pasa por los puntos P = (1,3) y Q = (3,0) es:  (x - 1) / = (y ) /  

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Caso práctico

Vamos a practicar con distintos casos:

(1) Obtén las ecuaciones paramétricas y continua de la recta r que pasa por  P = (1,2) y su vector director es = (1,-1)

(2) Indica un punto de la recta r distinto de P.
(3) ¿El punto R(2,0) pertenece a la recta r?