2.1. Forma binómica
Importante
Llamaremos número complejo z a todo número de la forma a + bi, siendo "a" la parte real y "bi " la parte imaginaria.
A la forma a + bi se la conoce como forma binómica de un número complejo. El conjunto de todos los números complejos se designa con la letra C.
Ejemplo
Los números 3 + 4i, -2 + 2i, 
y 
son números complejos.
Los números imaginarios pueden ser considerados números complejos cuya parte real es cero. Así, por ejemplo: 2i = 0 + 2i, -i = 0 - i, 4i = 0 + 4i, etc. A partir de ahora, solo hablaremos de números complejos.
Para representar gráficamente números reales o conjuntos de números reales, se usa la recta numérica (que tiene sólo una dimensión).
Sin embargo, para representar un número complejo (z = a + bi), al tener dos componentes, se hace necesario utilizar lo que se conoce como plano complejo.
En este, cada punto del mismo es un número complejo. De esta forma, para representar el número complejo a + bi, en primer lugar, definimos en este plano dos ejes: un eje real para la parte real, y un eje imaginario para la parte imaginaria. A continuación, marcamos el punto que viene dado por el par ordenado de números (a, b), tal como se muestra en la imagen de la derecha.
En esta imagen también podrás ver una flecha azul que es la representación gráfica de un vector
En la unidad dedicada a Geometría estudiarás los vectores en detalle. De momento, es interesante que sepas dos cosas:
- En primer lugar y, geométricamente hablando, un vector es un segmento orientado dotado de dirección (la recta donde se puede considerar situado el vector), sentido (el que marca la flecha) y módulo (longitud del vector).
- En segundo lugar, un vector viene dado por sus coordenadas que, en el caso de la imagen de la derecha es (a, b)).
En conclusión, un número complejo también puede ser considerado como un vector del plano, como vamos a ver más abajo.
La siguiente escena de Geogebra te muestra el plano complejo y la representación en el mismo del número complejo z = 4 + 3i como el punto azul de coordenadas (4, 3).
Este número también se puede considerar como un vector (la flecha negra) que tiene las mismas coordenadas y cuyo módulo (longitud) viene dado por 
(en nuestro caso 
).
Si, en la escena, mueves el punto azul por el plano, podrás ver distintos números complejos asociados al mismo junto con su representación gráfica y el módulo del vector que le corresponde.
Importante
Llamaremos módulo del número complejo z = a + bi al módulo del vector v = (a, b), es decir:
,
donde tomamos siempre la raíz positiva (dado que el módulo es una distancia).
Se llama opuesto del número complejo z = a + bi al número complejo -a - bi y lo designaremos por -z.
Se llama conjugado del número complejo z = a + bi al número complejo a - bi y lo designaremos por 
.
Comprueba lo aprendido
Ejercicio Resuelto
Halla el módulo de los siguientes números complejos:
- 2 + 3i
- 1 - 2i
- 4 + 5i