4.1 Velocidad orbital y período de revolución

Supongamos que un satélite, natural o artificial, de masa m describe una trayectoria circular de radio r alrededor de un planeta de masa M.

Ya sabemos que este movimiento es fruto de la fuerza gravitatoria. Esta corresponde a la fuerza centrípeta que actúa sobre el satélite.

Igualando las expresiones ya conocidas:

$F_{g}=F_{c}$

$G\frac{M\cdot m}{r^{2}}=m\frac{v^{2}}{r}$

Despejando, se obtiene la expresión que permite la determinación de la velocidad orbital del satélite que, como puedes ver, es independiente de la masa de este:

$v_{orb}=\sqrt{\frac{GM}{r_{orb}}}$

Caso práctico

Un satélite de 250 kg de masa, está en órbita circular en torno a la Tierra a una altura de 500 km sobre su superficie. Calcula su velocidad orbital.

El período de revolución de un satélite es el tiempo que tarda este en describir una órbita alrededor del planeta. Se representa por T y tiene unidades de tiempo.

Se determina sabiendo que la velocidad orbital será la relación entre la longitud de la circunferencia descrita y el tiempo invertido (T), por ello:

$T= \frac{2\pi }{\omega }= 2\pi \frac{r_{orb}}{v_{orb}}= 2\pi \sqrt{\frac{r_{orb}^{3}}{GM}}$

Para el caso del planeta Tierra

$T= 2\pi \sqrt{\frac{r_{orb}^{3}}{gR_{T}^{2}}}$

Ejemplo o ejercicio resuelto

La distancia entre Marte y el Sol en 1,53 veces la distancia entre la Tierra y el Sol. Suponiendo que ambos planetas llevan movimiento circular uniforme, calcula la duración del "año" marciano.

Retroalimentación

En este caso, la fuerza centrípeta es la atracción gravitatoria que ejerce el Sol sobre los planetas. Como debes determinar el tiempo que le cuesta a Marte dar una vuelta alrededor del Sol (el "año" marciano), tienes que calcular el periodo de giro T.

Para la Tierra, indicando la distancia de giro como R (d=R):

Anulando la masa de la Tierra en ambos lados y agrupando términos, resulta:

El mismo planteamiento se realiza en Marte, y la única diferencia es que se indica el radio de giro de Marte y se calcula el periodo de revolución de Marte. Por tanto:

Si divides miembro a miembro la segunda expresión por la primera verás que se anulan los cocientes de ambas expresiones, con lo que:

Como el periodo de rotación de la Tierra es de 1 año, el de Marte es de 1,89 años.

Caso práctico

Imagen de NASAvia Wikimedia Commons. CC0

Imagina que el satélite de la fotografía, enviado por la NASA al espacio, tiene una masa de 180 kg y describe una órbita circular alrededor de la Tierra justo por su ecuador.

Calcula la velocidad de su órbita y su período de revolución si el radio de la misma es dos veces y media el radio terrestre. Datos: g = 9,8 m/s²; R_T = 6,4·10⁶ m