1. Posiciones relativas de rectas en el plano

"Sinuhé afrontaba su etapa final. No podía recordar los días que llevaba viajando, siguiendo las instrucciones de Eratóstenes.

Días y días mirando la posición del sol, hallando la ruta más corta, calculando y anotando distancias recorridas.

Sinuhé llegó a la ciudad de Luxor, y al acercarse a un pozo en el que beber agua, se encontró con Pazair, un egipcio que había conocido días atrás.

- Saludos Pazair, me alegro de encontrarte de nuevo, ¿cómo es que no hemos coincidido por el camino? - preguntó Sinuhé.

- Quisieran los dioses que volviéramos a encontrarnos, debemos haber seguido caminos paralelos desde que nos despedimos.

- Lo dudo amigo Pazair, pues los caminos paralelos nunca han de encontrarse".

Desierto

Imagen de Falkenpost en Pixabay. Licencia Pixabay

Importante

Las rectas en el plano  sólo pueden situarse de tres formas: o no se cortan (paralelas), o se cortan en un punto (secantes), o una está sobre la otra (coincidentes).

¿Qué condiciones deben darse en cada caso? O dicho de otra forma: si sólo tenemos las ecuaciones de ambas rectas sin su representación gráfica, ¿cómo podemos saber cuál es la posición relativa de ambas?

En el siguiente applet de Geogebra puedes experimentar cómo cambia la posición relativa de dos rectas al modificar uno de los puntos por los que pasa (A o P) y sus pendientes (ms y mr).

Utilízalo para contestar las preguntas que se hacen a continuación, teniendo en cuenta que las ecuaciones de las rectas vienen dadas en la forma r = Ax+By=C, s = A'x+B'y=C'.

Escena de iedamatematicas en GeoGebra.org

Comprueba lo aprendido

Pregunta

Dos rectas son secantes si:

Respuestas

Sus vectores directores u y v son proporcionales

Sus vectores directores u y v no son proporcionales

Sus pendientes son diferentes

Sus pendientes son iguales

A / A' = B / B'

Retroalimentación

Pregunta

Dos rectas son paralelas si:

Respuestas

Sus vectores directores u y v son proporcionales

Sus vectores directores u y v no son perpendiculares

Sus pendientes son iguales

A / A' = B / B' ≠ C / C'

Retroalimentación

Pregunta

Dos rectas son coincidentes si:

Respuestas

Tienen, como mínimo, tres puntos en común

Sus vectores son proporcionales y tienen un punto en común

A / A' ≠ B / B'

Retroalimentación

Aquí tienes un resumen de lo anterior para que puedas resolver las actividades:

Presentación de saulvalper en Slideshare

Comprueba lo aprendido

Completa los espacios en blanco de las siguientes actividades:

a) Las rectas son (secantes/paralelas/coincidentes):

b) De las siguientes rectas, ¿cuáles son secantes con la número 1? La y la

c) Si una recta pasa por los puntos A=(1,0) y B=(3,1), y otra por los puntos P=(-2,4) y Q=(0,3), ambas rectas son (secantes, paralelas, coincidentes)

d) Averigua el valor de m para que ambas rectas sean paralelas: m =

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En la siguiente escena del proyecto Descartes puedes seguir practicando sobre la posición relativa de dos rectas:


Escena de María José García Cebrian en Proyecto Descartes. Licencia CC


Ángulo entre dos rectas

"Sinuhé y Pazair se reunieron al día siguiente en la salida de la ciudad para proseguir su camino.

- De nuevo nos separamos, amigo Sinuhé, pues nuestros rectos caminos se alejan.

- Desde luego, unos 50º de separación, me atrevo a aventurar.

- ¿Acaso puedes saberlo con sólo mirar?

- Podría calcularlo fácilmente, y apenas retrasaría nuestra marcha."

 

Calcular el ángulo que forman dos rectas secantes es sencillo. De hecho ya debes saber hacerlo, pues es el mismo que forman sus dos vectores directores. También puede calcularse a partir de las pendientes de ambas rectas. Dependiendo de los datos que tengas, deberás usar una u otra fórmula:

 

  

 

Caso práctico

Sinuhé y Pazair salieron de Luxor, cuyas coordenadas son (23.70, 32.60). Sinué se dirigía a Al Baghdadi (25.64, 32.61) y Pazair a Al Bayadiyah (25.67, 32.66). ¿Crees que el cálculo de Sinué se aproxima a la realidad?

No es necesario que calculemos las ecuaciones de las rectas, pues nos basta con calcular sus vectores directores con los siguientes datos:

A = Luxor = (23.70, 32.60)

B = Al Baghdadi = (23.64, 32.61)

C = Al Bayadiyah = (23.67, 32.66)

Calcularemos los vectores u=AB y v=AC:

Ahora aplicamos la primera fórmula y obtenemos: