Imagina que estás trabajando en el lanzamiento de un nuevo producto tecnológico, como una aplicación móvil. Tienes datos de lanzamientos anteriores, incluyendo características del producto, presupuesto de marketing, opiniones de los usuarios, y ventas iniciales. Quieres saber, basado en estos datos, ¿cómo podemos predecir el éxito de nuestro nuevo producto?. Los métodos de máxima verosimilitud para la estimación de parámetros en estadística son tu herramienta para descifrar esto.
Piensa en estos métodos para estimar parámetros como los ajustes finos que puedes hacer en tu estrategia para asegurarte de que tu lanzamiento sea lo más exitoso posible.
Razones por las que son tan importantes:
Optimizar la estrategia de lanzamiento: Al igual que ajustar las funciones de tu aplicación o el presupuesto de marketing basándote en lo que ha funcionado en el pasado, los estimadores de máxima verosimilitud te ayudan a modificar tu planificación para que se ajuste mejor a los datos que tienes. Quieres que tu modelo explique lo mejor posible qué hace que un producto sea bien recibido en el mercado.
Realizar predicciones precisas: Con un modelo bien ajustado, puedes predecir cómo ciertas decisiones afectarán el éxito de tu producto. Si sabes que ciertas características han sido particularmente populares o ciertas estrategias de marketing han tenido buenos resultados, puedes usar esa información para tomar decisiones informadas sobre tu nuevo lanzamiento. Por ejemplo, si aumentas tu presupuesto de marketing en un 20% y te enfocas en los canales que han sido más efectivos en el pasado, ¿cuánto podrías aumentar tus descargas esperadas?
Basado en la probabilidad: El objetivo es encontrar los estimadores de parámetros que hacen que los datos que tienes sean lo más probables posible. Es como decir: dado lo que sabemos sobre lanzamientos exitosos, ¿cómo podemos ajustar nuestro producto, marketing, etc., para maximizar nuestras posibilidades de éxito?. Por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de alcanzar tu objetivo de descargas con diferentes niveles de inversión en marketing?
2. ¿Qué es un estimador de máxima verosimilitud?
Un estimador de máxima verosimilitud de un parámetro es un valor estimado para una característica desconocida (parámetro) de una población, y se determina mediante el uso de un modelo estadístico y datos observados. Este valor hace que la probabilidad de observar los datos recogidos sea máxima bajo el modelo asumido. En otras palabras, es el valor que, según el modelo, hace que los datos observados sean "lo más probables posible".
Para entenderlo mejor, veamos un ejemplo sencillo:
Imagina que tienes una moneda y quieres averiguar si es justa (tiene la misma probabilidad de caer en cara o en cruz) o si está sesgada hacia uno de los lados. Lanzas la moneda 100 veces y obtienes 70 caras y 30 cruces. Aquí, el parámetro de interés es la probabilidad de que la moneda caiga en cara en un lanzamiento.
Usando el método de máxima verosimilitud, calcularías cuál es la probabilidad de obtener esos 70 caras y 30 cruces con diferentes valores posibles para la probabilidad de cara (desde 0 hasta 1). El valor que haga que la probabilidad de ver exactamente 70 caras y 30 cruces sea la más alta es tu estimación de máxima verosimilitud para la probabilidad de cara. En este caso, intuitivamente, dirías que la probabilidad estimada de cara es 70% (o 0.7), porque ese valor es el que mejor "explica" los datos observados.
Para este ejemplo, dado que la estimación de la probabilidad de obtener cara es del 70%, significativamente mayor que el 50%, concluimos que la moneda no es justa. Parece estar sesgada hacia caras.
Sin embargo, es importante tener en cuenta que, aunque la estimación de máxima verosimilitud nos da una buena idea de la probabilidad basada en los datos observados, también sería prudente realizar pruebas estadísticas para confirmar si la diferencia observada es estadísticamente significativa. Esto es, queremos estar seguros de que la diferencia entre nuestra observación (70% caras) y la expectativa para una moneda justa (50% caras) no se debe simplemente al azar.
3. Estimador de máxima verosimilitud para la proporción
El estimador de máxima verosimilitud para la proporción es un concepto fundamental en estadística, particularmente cuando se trata de analizar datos binarios, como sí/no, éxito/fracaso, etc, como en el contexto de distribuciones binomiales. El cálculo de este estimador sigue un enfoque sistemático basado en la función de verosimilitud, que busca el valor del parámetro (en este caso, la proporción) que hace que los datos observados sean lo más probables posible.
Veamos cómo se obtiene, paso a paso, el estimador de máxima verosimilitud de la probabilidad $p$ en el caso de una distribución binomial.
El siguiente proceso muestra cómo se maximiza la función de verosimilitud para encontrar la estimación que hace que los datos observados sean lo más probables posible.
Supongamos que tenemos una serie de ensayos independientes, cada uno con dos posibles resultados ($éxito$ o $fracaso$), y queremos estimar la probabilidad de éxito \(p\). Si realizamos \(n\) ensayos y observamos \(x\) éxitos, queremos encontrar el valor de \(p\) que maximiza la probabilidad de obtener exactamente \(x\) éxitos.
La función de verosimilitud para una variable aleatoria binomial con \(n\) ensayos y \(x\) éxitos, donde \(p\) es la probabilidad de éxito en cada ensayo, es:
Aquí, $\left(\begin{array}{c}n \\ x \end{array}\right)$ es el coeficiente binomial, que representa el número de formas en que podemos elegir \(x\) éxitos de \(n\) ensayos.
Para facilitar la derivación, se toma el logaritmo natural de la función de verosimilitud, ya que el logaritmo es una función monótona creciente que no cambia el punto de máxima verosimilitud:
Multiplicando ambos lados por \(p(1-p)\) y simplificando, obtenemos:
\[ x \cdot (1-p) = (n-x) \cdot p \]
\[ x - x \cdot p = n \cdot p - x \cdot p \]
\[ x = n \cdot p \]
Despejando para \(p\), encontramos la estimación de máxima verosimilitud para \(p\):
\[ \hat{p} = \frac{x}{n} \]
La estimación de máxima verosimilitud para la probabilidad de éxito \(p\) en una distribución binomial es simplemente la proporción de éxitos observados en la muestra. Este resultado es intuitivo: si realizas \(n\) ensayos y observas \(x\) éxitos, la mejor estimación para la probabilidad de éxito es la fracción de ensayos que resultaron en éxito. Este enfoque no solo maximiza la función de verosimilitud, sino que también proporciona una estimación intuitiva y fácilmente interpretable para el parámetro \(p\).
4. Importante
El estimador de máxima verosimilitud para la probabilidad de éxito \(p\) en una distribución binomial es simplemente la proporción de éxitos observados en la muestra.
\[ \hat{p} = \frac{x}{n} \]
Este resultado es intuitivo: si realizas \(n\) ensayos y observas \(x\) éxitos, la mejor estimación para la probabilidad de éxito es la fracción de ensayos que resultaron en éxito.
5. Ejemplos
Ejemplo 1: Campaña de marketing por correo electrónico
Imagina que una empresa de comercio electrónico lanza una campaña de marketing por correo electrónico, enviando 1000 correos electrónicos a potenciales clientes con el objetivo de promover un nuevo producto. De estos 1000 correos, 150 destinatarios hacen clic en el enlace proporcionado, llevándolos al sitio web de la empresa.
En este contexto, cada correo electrónico enviado representa un ensayo, y cada clic en el enlace es un éxito. Por lo tanto, tenemos \(n = 1000\) ensayos y \(x = 150\) éxitos. Usando la fórmula del estimador de máxima verosimilitud para la probabilidad de éxito \(p\), calculamos:
Esto indica que la mejor estimación de la probabilidad de que un correo electrónico genere un clic en el enlace es del 15%. Esta información es crucial para la empresa al evaluar la efectividad de su campaña de correo electrónico y planificar estrategias futuras.
Ejemplo 2: Control de calidad en la producción de bombillas
Una fábrica produce bombillas y desea asegurarse de que la mayoría de sus productos no sean defectuosos. Para esto, realiza una prueba de control de calidad en una muestra de 500 bombillas, encontrando que 25 de ellas no funcionan correctamente.
Aquí, cada bombilla probada es un ensayo y cada bombilla defectuosa es un fracaso (pero para este ejemplo, consideraremos el "éxito" como obtener una bombilla que no funciona, para mantener la consistencia con la definición de "éxito"). Así, tenemos \(n = 500\) y \(x = 25\). Aplicando la fórmula del estimador de máxima verosimilitud para la probabilidad de éxito \(p\), encontramos:
Esto significa que, basándonos en la muestra, la mejor estimación de la probabilidad de encontrar una bombilla defectuosa en la producción es del 5%. Este resultado ayuda a la fábrica a entender la calidad de su proceso de producción y a identificar si necesitan hacer mejoras para reducir la tasa de defectos.
En ambos ejemplos, el estimador de máxima verosimilitud proporciona una medida intuitiva y directa de la probabilidad de éxito basada en los datos observados, siendo fundamental para la toma de decisiones basada en evidencias.
6. Problemas resueltos
Ejemplo 1: Probabilidad de aciertos en un Juego de dardos
Imagina que estás en una feria y decides jugar un juego de dardos donde tienes que acertar a un objetivo específico. Se te dan 5 dardos para lanzar (es decir, \(n = 5\)) y logras acertar con 3 de ellos (\(x = 3\)). Quieres estimar tu habilidad para acertar el objetivo, es decir, la probabilidad de éxito \(p\), y luego calcular la probabilidad de acertar exactamente 4 veces en 5 intentos adicionales.
Estimación de la habilidad (\(p\)):
Usando el estimador de máxima verosimilitud, calculamos la probabilidad de éxito \(p\) como: \[ \hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{3}{5} \]
Cálculo de la probabilidad de acertar 4 de 5 intentos:
Ahora, queremos saber la probabilidad de acertar exactamente 4 veces en 5 intentos, usando la distribución binomial con nuestro \(p\) estimado. La fórmula es: \[ P(X = 4) = \binom{5}{4} \cdot \hat{p}^4 \cdot (1-\hat{p})^{5-4} \] Sustituimos \(\hat{p}\) con \(3/5\): \[ P(X = 4) = \binom{5}{4} \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^4 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^1 = 0.2592\]
Ejemplo 2: Probabilidad de Germinación de Semillas
Supongamos que eres una bióloga que está experimentando con una nueva especie de planta. Plantas 6 semillas (\(n = 6\)) y observas que, después de una semana, 4 semillas han germinado (\(x = 4\)). Quieres estimar la probabilidad de germinación \(p\) de esta especie de semilla y luego calcular la probabilidad de que, en otro grupo de 6 semillas, exactamente 5 germinen.
Estimación de la probabilidad de germinación (\(p\)):
Utilizamos el estimador de máxima verosimilitud para hallar \(p\): \[ \hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]
Cálculo de la probabilidad de 5 germinaciones de 6 intentos:
Queremos calcular la probabilidad de que, en un nuevo conjunto de 6 semillas, 5 germinen. Usamos la fórmula binomial: \[ P(X = 5) = \binom{6}{5} \cdot \hat{p}^5 \cdot (1-\hat{p})^{6-5} \] Sustituimos \(\hat{p}\) con \(2/3\): \[ P(X = 5) = \binom{6}{5} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^5 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^1=0.26337 \]
En ambos ejemplos, después de estimar la probabilidad de éxito \(p\) usando el estimador de máxima verosimilitud, utilizamos esta estimación para calcular la probabilidad de un número específico de éxitos en una distribución binomial con un número de ensayos dado.
Vamos a explorar un concepto fascinante en estadística que te va a parecer casi mágico: cómo algunas distribuciones binomiales se parecen muchísimo a las distribuciones normales bajo ciertas condiciones. Y lo mejor de todo, vamos a ver cómo puedes comprobarlo tú mismo con una aplicación muy interesante.
Primero, recordemos rápidamente qué son estas distribuciones:
Distribución Binomial: Imagina que estás lanzando una moneda varias veces. Cada lanzamiento tiene dos posibles resultados: cara o cruz. Si quieres saber la probabilidad de obtener, digamos, 4 caras en 10 lanzamientos, estás hablando de una distribución binomial. Aquí, $n$ representa el número de lanzamientos (intentos) y $p$ la probabilidad de sacar cara (éxito) en un solo lanzamiento. Distribución Normal: Es esa famosa curva en forma de campana que encuentras en tantos lugares, desde las notas de un examen hasta las alturas de las personas. Lo especial de esta distribución es que describe cómo se distribuyen muchas cosas en el mundo real.
La conexión mágica Ahora, aquí viene la parte interesante: para ciertos valores de $n$ (número de intentos) y $p$ (probabilidad de éxito), las distribuciones binomiales empiezan a parecerse mucho a una distribución normal. Esto sucede especialmente cuando $n$ es grande y $p$ está entre 0 y 1, pero no demasiado cerca de estos extremos. Concretamente, si $n·p$ y $n·q$ son ambos mayores que 5, la aproximación es casi perfecta.
¿Por qué es esto útil? Bueno, porque la distribución normal es más fácil de manejar matemáticamente, lo que significa que podemos calcular cosas complicadas de manera mucho más sencilla.
¿Cómo puedes comprobarlo? Aquí es donde la aplicación que mencionamos antes entra en juego. Con esta herramienta, puedes ajustar el valor de $n$ (con el control deslizante para el número de intentos) y $p$ (con el control deslizante para la probabilidad de éxito) y ver en tiempo real cómo cambia la forma de la distribución binomial.
Experimenta tú mismo Intenta lo siguiente con la aplicación:
- Comienza con un valor pequeño de $n$, como 10, y un valor de $p$ de 0.5. Observa la forma de la distribución binomial y nota cómo se ve. - Aumenta $n$ gradualmente, manteniendo $p$ constante. Verás cómo la distribución binomial comienza a aplanarse y a extenderse, empezando a tomar la forma de la curva de campana de la distribución normal. - Juega con $p$ también. Cuando $p$ está muy cerca de 0 o 1, la aproximación a la normal no funciona tan bien. Pero cuando $p$ está más hacia el centro, la magia sucede.
Autor: Antonio Ruiz Murcia. Binomial vs Normal(CC BY-NC-SA)
Este fenómeno es super útil porque significa que podemos aplicar todo lo que sabemos sobre la distribución normal (que es mucho) a situaciones descritas originalmente por una distribución binomial, siempre y cuando $n$ y $p$ cumplan las condiciones descritas anteriormente. Esto abre un mundo de posibilidades para resolver problemas de probabilidad de manera más sencilla y eficiente.
9. Cálculo efectivo de probabilidades de una binomial mediante una normal
Veamos cómo podemos transformar esa distribución binomial B(n, p).
Paso 1: Entender la aproximación
Cuando queremos usar una distribución normal para aproximar una binomial, hay un par de cosas que necesitamos recordar:
Tamaño de la muestra \(n\): Necesitamos que \(n\) sea suficientemente grande. Una regla práctica es que \(n\) debe ser tal que tanto \(n \cdot p\) como \(n \cdot (1-p)\) sean mayores que 5.
Probabilidad de éxito \(p\): Idealmente, \(p\) no debería estar demasiado cerca de 0 o 1. Esto ayuda a que la distribución sea más simétrica, lo cual es bueno para la aproximación.
Paso 2: Aproximar B(n, p) con una Normal
Una vez que tenemos un \(n\) grande y un \(p\) adecuado, aquí es cómo hacemos la aproximación:
Calcula la media \(\mu\) y la desviación estándar \(\sigma\) de la distribución binomial:
La media de la distribución binomial se calcula como \(\mu = n \cdot p\).
La desviación típica se calcula como \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}\).
Usa estos valores para encontrar la distribución normal equivalente:
La distribución normal que usas para aproximar tiene la misma media \(\mu\) y desviación típica \(\sigma\) que calculaste para la binomial, es decir, N(\(\mu\),\(\sigma\)).
Paso 3: Calcular Probabilidades
Para calcular la probabilidad de obtener exactamente \(k\) éxitos en una distribución binomial \(B(n, p)\) utilizando su aproximación normal, especialmente en muestras pequeñas donde la precisión es crítica, debemos aplicar la corrección de Yates para manejar la discontinuidad entre la distribución binomial (discreta) y la normal (continua). La corrección de Yates es particularmente relevante aquí porque, en la distribución normal, la probabilidad puntual de cualquier evento discreto específico, como $P(X=k)$, es cero, debido a que la distribución normal es continua.
Aquí se muestra cómo hacerlo paso a paso:
1. Definir el Intervalo para \(k\)
Dado que estamos interesados en \(P(X=k)\) y la distribución normal es continua, consideramos un intervalo que va desde \(k-0.5\) hasta \(k+0.5\). Este ajuste refleja el intervalo continuo más cercano alrededor del valor discreto \(k\), compensando la discontinuidad.
2. Calcular las Puntuaciones Z
Convertimos los límites del intervalo a puntuaciones Z utilizando la media \(\mu = np\) y la desviación estándar \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}\) de la distribución binomial:
Para el límite inferior (\(k-0.5\)): \(Z_{inferior} = {\Large{\frac{(k-0.5) - \mu}{\sigma}}}\)
Para el límite superior (\(k+0.5\)): \(Z_{superior} = {\Large{\frac{(k+0.5) - \mu}{\sigma}}}\)
3. Encontrar las áreas bajo la curva Normal
Utilizamos las puntuaciones Z calculadas para encontrar las áreas correspondientes bajo la curva de la distribución normal estándar. Estas áreas nos dan las probabilidades de que \(X\) sea menor que \(k+0.5\) y \(X\) sea menor que \(k-0.5\), respectivamente.
4. Calcular la Probabilidad \(P(X=k)\)
La probabilidad deseada, \(P(X=k)\), se obtiene restando la probabilidad de que \(X\) sea menor que \(k-0.5\) de la probabilidad de que \(X\) sea menor que \(k+0.5\):
Imagen de elaboración propia. Corrección de Yates.(CC BY-NC-SA)
La gráfica muestra la comparación entre una distribución binomial y su aproximación normal, destacando la corrección de Yates para calcular $P(X=k)$, donde $k=10$. La zona resaltada en amarillo indica el área bajo la curva de la distribución normal aproximada, ajustada por la corrección de Yates, representando la probabilidad de obtener exactamente 10 éxitos. La probabilidad corregida por Yates de $P(X=10)$ es aproximadamente 0.1769, demostrando cómo esta corrección afecta el cálculo de probabilidades puntuales en la aproximación de una distribución binomial mediante una normal.
Otros casos posibles son:
Para \(P(a < X)\):
Convertimos \(a+0.5\) a su correspondiente puntuación Z: \(Z = {\Large{\frac{(a+0.5) - \mu}{\sigma}}}\).
Buscamos la probabilidad de \(Z\) en la tabla de la distribución normal estándar.
Para \(P(a \leq X)\):
Convertimos \(a-0.5\) a su correspondiente puntuación Z: \(Z = {\Large{\frac{(a-0.5) - \mu}{\sigma}}}\).
Buscamos la probabilidad de \(Z\) en la tabla de la distribución normal estándar.
Para \(P(a < X < b)\):
Convertimos \(a+0.5\) y \(b-0.5\) a sus correspondientes puntuaciones Z: \(Z_a = {\Large{\frac{(a+0.5) - \mu}{\sigma}}}\) y \(Z_b = {\Large{\frac{(b-0.5) - \mu}{\sigma}}}\).
Calculamos la diferencia entre las probabilidades de \(Z_b\) y \(Z_a\) en la tabla de la distribución normal estándar.
Para \(P(a \leq X \leq b)\):
Convertimos \(a-0.5\) y \(b+0.5\) a sus correspondientes puntuaciones Z: \(Z_a = {\Large{\frac{(a-0.5) - \mu}{\sigma}}}\) y \(Z_b = {\Large{\frac{(b+0.5) - \mu}{\sigma}}}\).
Calculamos la diferencia entre las probabilidades de \(Z_b\) y \(Z_a\) en la tabla de la distribución normal estándar.
En el siguiente vídeo se muestran diferentes ejemplos sobre cómo aplicar la corrección de Yates (corrección de continuidad) en varios problemas.
Una compañía de bebidas desea entender mejor las preferencias de sus consumidores respecto a un nuevo sabor de té helado. Para ello, realiza una encuesta a una muestra de 100 consumidores, preguntándoles si prefieren el nuevo sabor sobre los sabores tradicionales. De los encuestados, 60 expresaron su preferencia por el nuevo sabor.
1. Calcula el estimador de máxima verosimilitud para la proporción de consumidores que prefieren el nuevo sabor.
2. Calcula la probabilidad de que, en una muestra aleatoria de 500 consumidores nuevos, más de 200 prefieran el nuevo sabor.
Respuesta.
1. Estimador de máxima verosimilitud para la proporción: $\hat{p} = {\Large{\frac{x}{n}}} = {\Large{\frac{60}{100}}} = 0.6$. Esto significa que el 60% de los consumidores en la muestra prefieren el nuevo sabor sobre los sabores tradicionales.
2. Probabilidad de que más de 200 de 500 consumidores prefieran el nuevo sabor:
Primero, calculamos la desviación típica ($σ$) de la distribución aproximada: $\sigma = \sqrt{500 \cdot 0.6 \cdot 0.4} \approx 10.95445$
Luego, aplicamos la corrección de Yates y calculamos el $z$ para $X=200.5$: $z = {\Large{\frac{200.5 - 300}{10.95445}}} \approx -9.08307$
Finalmente, buscamos la probabilidad correspondiente a este $z$ usando la distribución normal estándar: $P(Z < -9.08307) \approx 0$
Dado el valor extremadamente bajo del $z$, la probabilidad de que más de 200 de 500 consumidores nuevos prefieran el nuevo sabor es prácticamente 1 (o 100%), ya que buscamos la probabilidad de que más de 200 prefieran el nuevo sabor, lo que se interpreta como $1−P(Z<−9.08307)$.
Problema 2. Evaluación del Rendimiento del alumnado
Una profesora de matemáticas realiza una prueba a sus 200 alumnos. Históricamente, el 70% de ellos aprueba esta prueba. Este año, el profesor quiere saber cuál es la probabilidad de que, al menos, 150 alumnos aprueben la prueba, basándose en el rendimiento histórico.
1. Determina el estimador de máxima verosimilitud para la proporción de estudiantes que aprueban la prueba.
2. Con este estimador, calcula la probabilidad de que, al menos, 150 alumnos aprueben la prueba.
Respuesta.
1. Estimador de máxima verosimilitud para la proporción: $\hat{p} = 0.7$. Esto refleja que, basándonos en el rendimiento histórico, esperamos que el 70% de los estudiantes aprueben la prueba.
2. Probabilidad de que al menos 150 alumnos aprueben la prueba.
Primero, calculamos la desviación típica ($σ$) de la distribución binomial aproximada: $\sigma = \sqrt{200 \cdot 0.7 \cdot 0.3} \approx 6.48074$
Luego, aplicamos la corrección de Yates y calculamos el $z$ para $X=149.5$: $z = {\Large{\frac{149.5 - 140}{6.48074}}} \approx 1.46588$
Finalmente, encontramos la probabilidad correspondiente a este $z$ usando la distribución normal estándar: $P(Z > 1.46588) = 1 - P(Z < 1.46588) \approx 0.07124$
Este resultado indica que hay aproximadamente un 7.12% de probabilidad de que, basándonos en el rendimiento histórico, al menos 150 de los 200 estudiantes aprueben la prueba este año.
11. Ayuda
Para realizar la actividad siguiente, puedes utilizar la calculadora de la distribución normal estándar o consultar su tabla correspondiente.
