Los diferentes modelos de distribución de probabilidad se definen para proporcionar marcos matemáticos que nos permitan comprender, describir y predecir el comportamiento de fenómenos aleatorios en una variedad de contextos. Estas distribuciones son idealizaciones o modelos matemáticos que buscan capturar las características esenciales de las distribuciones de frecuencias relativas observadas en datos reales. Las razones principales para definir y utilizar estos modelos son:

• Simplificación y abstracción: La realidad es intrínsecamente compleja y multifacética. Los modelos de distribución de probabilidad ofrecen una manera de simplificar esta complejidad, permitiéndonos enfocarnos en los aspectos esenciales de un fenómeno aleatorio. A través de la abstracción, podemos aplicar conceptos teóricos a situaciones prácticas.
• Predicción y análisis: Al entender cómo se distribuyen los posibles resultados de un proceso o experimento aleatorio, podemos hacer predicciones sobre futuros eventos. Estos modelos permiten calcular probabilidades, evaluar riesgos y tomar decisiones informadas en presencia de incertidumbre.

Ejemplo. Distribución de los pesos de recién nacidos

Este histograma de frecuencias relativas, muestra la distribución de los pesos de 50 niños al nacer.

En el siguiente gráfico, la curva roja representa la distribución de probabilidad normal calculada a partir de la media y la desviación típica de los datos anteriores, permitiendo visualizar cómo la distribución teórica se ajusta a los datos reales.

El uso de una distribución de probabilidad para modelar datos empíricos, como la distribución normal en el ejemplo de los pesos al nacer, ofrece varias ventajas significativas:

• Simplificación y comprensión: La distribución de probabilidad proporciona un resumen simplificado y comprensible de los datos empíricos. Al ajustar una distribución conocida a los datos, se pueden resumir las características importantes de los datos (como la tendencia central y la dispersión) mediante parámetros de la distribución (media y desviación típica para la distribución normal). Esto facilita la interpretación y comunicación de los resultados.
• Predicción y extrapolación: Una vez que se ha ajustado una distribución de probabilidad a los datos, se puede usar para hacer predicciones sobre eventos futuros o valores no observados dentro del rango de los datos. Por ejemplo, se puede calcular la probabilidad de que el peso al nacer de un niño esté por encima o por debajo de cierto valor crítico, lo cual es crucial para el monitoreo de la salud neonatal.
• Manejo de incertidumbre: La distribución de probabilidad encapsula la variabilidad y la incertidumbre inherentes en los datos empíricos. Al entender la distribución de los datos, se pueden identificar y cuantificar las fuentes de variabilidad, lo cual es crucial para la gestión de riesgos y la planificación en muchas áreas, como la medicina, la ingeniería y la economía.

Una variable aleatoria es un concepto fundamental en la teoría de la probabilidad y estadística que sirve como puente entre los sucesos aleatorios y los números reales. Esencialmente, consiste en asignar un número real a cada posible resultado de un experimento aleatorio. La variable aleatoria puede tomar diferentes valores, cada uno asociado con una probabilidad específica, reflejando la naturaleza incierta del fenómeno que está modelando.

Las variables aleatorias se clasifican en dos tipos principales:

• Variables aleatorias discretas: Son aquellas que toman valores en un conjunto contable, ya sea finito o infinito numerable. Los ejemplos incluyen el número de caras obtenidas al lanzar monedas múltiples veces, o el número de clientes que llegan a un mostrador en cierto periodo.
• Variables aleatorias continuas: Son aquellas que pueden tomar cualquier valor numérico dentro de un intervalo. Ejemplos de variables aleatorias continuas incluyen la altura de una persona seleccionada al azar o el tiempo que tarda en llegar un autobús.

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria describe cómo se distribuyen las probabilidades entre los diferentes valores que puede tomar la variable. En otras palabras, proporciona un perfil completo de la variabilidad de la variable aleatoria.

Distribuciones de probabilidad discretas

Para variables aleatorias discretas, la distribución de probabilidad se describe a menudo mediante una función de probabilidad, que asigna una probabilidad a cada uno de los posibles valores discretos que la variable aleatoria puede tomar.

Cada posible resultado tiene una probabilidad específica asociada, y la suma de las probabilidades de todos los posibles resultados es igual a 1.

Ejemplo 1. Bolsa con canicas

Imagina que tienes una bolsa con 3 canicas rojas y 2 azules. Si seleccionas una canica al azar, los posibles resultados son rojo o azul, pero la probabilidad no es la misma para ambos. Aplicando la regla de Laplace, que hemos visto en el apartado anterior, la probabilidad de sacar una canica roja es ${\large{\frac{3}{5}}}$ y la de sacar una canica azul es ${\large{\frac{2}{5}}}$

Para representar los sucesos "Roja" y "Azul" con una variable aleatoria, asignaremos valores numéricos a cada color. Digamos que:

$X=1$ representa sacar una canica Roja.
$X=0$ representa sacar una canica Azul.
Ahora, utilizando esta variable aleatoria $X$, podemos reconstruir la tabla y la gráfica de la función de probabilidad para la distribución de sacar una canica de la bolsa.

Esta tabla utiliza la variable aleatoria $X$ para cuantificar los sucesos "Roja" y "Azul" como valores numéricos $1$ y $0$ respectivamente, facilitando el análisis matemático y estadístico de la situación.

Distribución discreta uniforme

Una distribución discreta uniforme ocurre cuando todos los posibles resultados de un experimento tienen la misma probabilidad de ocurrir. Esto significa que no hay sesgo hacia ningún resultado particular; todos son igualmente probables.

Cómo se define:

• Dado un conjunto de \(n\) resultados posibles, la probabilidad de cada resultado es \({\large{\frac{1}{n}}}\).
• La función de probabilidad de una variable aleatoria \(X\) que sigue una distribución uniforme discreta es: \(P(X = x_i) = {\large{\frac{1}{n}}}\), para \(i = 1, 2, \ldots, n\), donde \(x_i\) representa los posibles valores de \(X\) y \(n\) es el número total de resultados posibles.

Ejemplo 2. Lanzamiento de un dado

Supongamos que lanzas un dado justo de 6 caras. El conjunto de posibles resultados es $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, y cada resultado tiene una probabilidad de ${\large{\frac{1}{6}}}$ de ocurrir. Este es un ejemplo clásico de una distribución discreta uniforme porque cada cara del dado tiene la misma probabilidad de aparecer en una sola tirada.

En esta tabla y gráfica, cada resultado posible ($xi​$), que representa una de las caras del dado, tiene una probabilidad de ${\large{\frac{1}{6}}}$ de ocurrir, reflejando la naturaleza uniforme de la distribución en este experimento.

Distribuciones de probabilidad continuas

Las distribuciones de probabilidad continuas se utilizan para modelar situaciones en las que el conjunto de posibles resultados de un experimento es un intervalo de números reales. A diferencia de las distribuciones discretas, donde los resultados posibles son valores específicos, las distribuciones continuas pueden tomar cualquier valor dentro de un rango determinado, con infinitos posibles resultados.

La probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor dentro de un intervalo dado es equivalente al área bajo la curva de su función de densidad de probabilidad en ese intervalo. Esta es una propiedad fundamental de cómo se modelan y calculan las probabilidades en el contexto de variables aleatorias continuas.

En las distribuciones de probabilidad continuas, la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor específico exacto es 0 debido a la naturaleza infinita de los números reales dentro de cualquier intervalo dado, no importa cuán pequeño sea.

Distribución continua uniforme

Una distribución continua uniforme se caracteriza por tener una probabilidad igual para todos los valores dentro de un intervalo específico. Todos los resultados en el intervalo son igualmente probables, y la probabilidad de un resultado específico en un rango continuo es cero; en su lugar, se habla de la probabilidad de que el resultado caiga dentro de un subintervalo del intervalo total.

Esto quiere decir que si se calcula la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor concreto, por ejemplo a, entonces el resultado es cero: $P(X=a)=0$

Cómo se define:

La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria \(X\) que sigue una distribución continua uniforme en el intervalo \([a, b]\) es:
\[ f(x) = {\large{\frac{1}{b - a}}} \quad \text{para } a \leq x \leq b \]
La función de densidad es constante \(\left({\Large{\frac{1}{b - a}}}\right)\) dentro del intervalo y cero fuera de él. La probabilidad de que \(X\) caiga en un subintervalo específico se calcula hallando el área sobre ese subintervalo.

La fórmula para calcular la probabilidad en una distribución uniforme continua es: \[ P(x_1 < X < x_2) = {\large{\frac{x_2 - x_1}{b - a}}} \] donde:  \(x_1\) y \(x_2\) son los valores entre los cuales queremos encontrar la probabilidad,  \(a\) y \(b\) son los límites de la distribución. La expresión anterior nos permite calcular la probabilidad de que la variable aleatoria $X$ se encuentre entre $x_1$ y $x_2$.

Es importante resaltar que debe cumplirse que los valores $x_1$ y $x_2$ deben estar comprendidos entre $a$ y $b$, es decir, debe cumplirse: $a \leq x_1 < x_2 \leq b$. No se incluye el igual en la desigualdad entre $x_1$ y $x_2$ porque si fueran iguales ya hemos dicho que la probabilidad sería cero.

Por lo tanto, la probabilidad corresponde directamente al área del rectángulo formado por estos dos puntos en el eje $x$ y la constante \(\left({\Large{\frac{1}{b - a}}}\right)\)

Ejemplo 3. Sorteo de un número aleatorio

En un experimento donde se sortea un número real aleatorio entre 0 y 1 utilizando un generador de números aleatorios perfectamente calibrado, la variable aleatoria $X$ que representa el número seleccionado sigue una distribución continua uniforme en el intervalo [0, 1]. Cada número dentro de este intervalo tiene exactamente la misma probabilidad de ser elegido.

Esta función de densidad de probabilidad para una distribución continua uniforme en el intervalo [0, 1].

f(x) = \(\begin{cases}
1 & \text{si } 0 \leq x \leq 1 \\
0 & \text{de lo contrario}
\end{cases}\)

Aquí tienes la gráfica de la función de densidad de probabilidad para una distribución continua uniforme en el intervalo [0, 1]. Como se puede ver, la función de densidad $f(x)$ es igual a 1 en el intervalo [0, 1] y 0 fuera de él. Esto refleja la propiedad de la distribución uniforme continua, donde cada valor dentro del intervalo tiene exactamente la misma probabilidad de ser elegido.

Distribución continua no uniforme

Ejemplo 4. Tiempo entre llegadas a una tienda

El tiempo entre llegadas de clientes a una tienda o entre llamadas telefónicas en un centro de llamadas puede modelarse con una distribución exponencial.

Esta es la función de densidad de una distribución exponencial:

f(x; λ) =\(\begin{cases}
\lambda ·e^{\large{{-\lambda x}}} & \text{si } x \geq 0 \\
0 & \text{de lo contrario}
\end{cases}\)

Cuando $\lambda=1$, la función se simplifica a:

f(x; 1) = \(\begin{cases}
e^{\large{{-x}}} & \text{si } x \geq 0 \\
0 & \text{de lo contrario}
\end{cases}\)

Aquí tienes la gráfica de la función de densidad de probabilidad para una distribución exponencial, que modela el tiempo entre llegadas de clientes a una tienda o entre llamadas telefónicas en un centro de llamadas, asumiendo una tasa promedio de llegada de 1 cliente por unidad de tiempo (λ=1). La curva muestra cómo la probabilidad de tiempos más cortos entre llegadas es más alta y disminuye exponencialmente para tiempos más largos entre llegadas, reflejando el característico decaimiento exponencial.

Recuerda que si dos sucesos \(A\) y \(B\) son incompatibles, no pueden ocurrir al mismo tiempo, entonces \(P(A \cap B) = 0\) y por lo tanto \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\).