3. Función continua en un punto

Sabemos que, conocida la gráfica de un función, podremos afirmar si es continua o no si podemos dibujarla sin levantar el lápiz del papel. Ahora nos toca prestar nuestra atención a por qué "tenemos que levantar el lápiz del papel", en el caso de que exista discontinuidad. Es decir, ¿por qué una función es continua o discontinua en un punto?

Para este estudio no será necesario fijarnos en las funciones lineales, cuadráticas y polinómicas en general, ya que son continuas. Tampoco tendremos que mirar las funciones exponenciales, logarítmicas, senos y cosenos, pues también lo son.

La mayoría de las funciones que no son continuas se encuentran entre las funciones de proporcionalidad inversa, racionales, tangentes y definidas a trozos.

Si haces clic en la siguiente imagen, podrás acceder a una escena de GeoGebra en la que es posible estudiar la continuidad de cuatro funciones diferentes en el punto . La escena dispone de seis botones, cuatro sirven para seleccionar las distintas funciones, y los otros dos para mover un punto que se aproxima a 2. Mira con detenimiento qué ocurre con cuando se acerca a 2. De ese modo podrás deducir qué diferencias existen en esa aproximación teniendo en cuenta que la función sea o no continua en .

 

Cuatro funciones y un punto
Imagen de elaboración propia

Podemos afirmar que una función no es continua en un punto por tres motivos: que no esté definida la función en dicho punto, que no exista el límite de cuando tiende al punto, o que aún existiendo el límite y la función en el punto, ambos valores no coincidan.

 

Función cuadrática  Para la función cuadrática, es continua en 2. Se cumplen los tres requisitos:
Existe , también existe , y ambos valores coinciden. 

 

Función parte entera Para la función a trozos, no es continua en 2:
Existe , pero no existe , ya que los límites laterales son diferentes.
Por la izquierda tiende a 1 y por la derecha a 2.

 

Función de proporcionalidad inversa  Para la función de proporcionalidad inversa, no es continua en 2.
No existe ni , y además .

 

 

Actividad de rellenar huecos

Vamos a estudiar la continuidad de la función que aparece representada en la imagen.

Continua menos en un punto

Imagen de elaboración propia

Para ello completa las siguientes frases:

Gráficamente se ve con claridad que f es discontinua en el punto .

f(2) = y el límite de f(x) cuando x tiende a 2 vale .

Por tanto f es continua en 2, ya que los dos valores anteriores son iguales.

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Actividad

Una función se dice continua en un punto , si se aproxima a cuando se acerca a , o lo que es lo mismo, si cumple las siguientes tres condiciones:

  1. Que exista

  2. Que exista

  3. Que los dos valores anteriores coincidan, es decir,

En caso contrario, la función se dirá discontinua en dicho punto. 

Una función que es continua en todos los puntos donde está definida, se dirá continua.

En el siguiente enlace puedes ver una clasificación de los distintos tipos de discontinuidades y su relación con la existencia o no del límite en un punto, o de los límites laterales.

Clasificación de discontinuidades

 

Actividad de rellenar huecos

Para estudiar la continuidad de esta función definida por partes, es conveniente que completes los huecos que aparecen en las siguientes afirmaciones. 

a) Antes del punto 3 es continua porque en ese trozo se define como una función .

b) Después del punto también es pues se define como una función .

c) Para ver si es continua en el punto 3 tendremos que estudiar el de f(x) cuando x tiende a él.

d) Si nos acercamos a 3 para valores menores que 3 la función tiende a .

e) Si nos acercamos a 3 para valores mayores que 3 la función tiende a .

f) De lo anterior deducimos que existe el .

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Caso de estudio

Halla el valor de para que la siguiente función sea continua.

Caso de estudio

 

Logotipo Universidades Públicas

 

Curso 2010/2011

Halla el valor de la constante para que la función

sea continua en todos los números reales.