2.1. Definición

Mira la imagen inferior. En ella aparece un caso particular de la escena de GeoGebra que hemos visto en un ejercicio resuelto. Recuerda, se nos pide que determinemos el primer trozo de una función definida por partes, de tal forma que la función resultante sea continua.

Imagen de elaboración propia

Este primer trozo es una función constante , cuando . ¿Cuánto valdrá ? Esa es la pregunta a la que tenemos que contestar.

Está claro que el punto culpable de que pueda no ser continua es . Y para evitar que esto ocurra tendremos que saber cuanto vale en y en sus cercanías. 

Sabemos que si . Por tanto, . Es decir, en vale -8, y para los valores de mayores que 2, se acerca a -8. 

¿Cuánto tendrá que valer entonces ? Eso es, . De esa forma también será continua en .

Imagen de elaboración propia

Estudiar el límite de una función en un punto consiste en saber cómo se comporta la función cuando nos acercamos a ese punto.

En el ejemplo anterior, para conseguir que fuera continua en , hemos obligado a que el límite de   cuando se acerca a -2 sea -8.

Escrito de forma más abreviada:

Si haces clic en la siguiente imagen, puedes acceder a una escena de GeoGebra muy similar a la anterior. En ella también se pide que determines un valor para que una función definida a trozos, sea continua en el punto .

Imagen de elaboración propia

La escena también te permite ver cómo varía cuando se acerca a 1. Puedes comprobar que, si la función aún no es continua en , los valores a los que se aproxima son distintos si lo hacemos para valores más pequeños que 1, o mayores. Por tanto no existe el límite de la función cuando tiende a 1.

Pero, si repetimos el proceso cuando ya se ha conseguido que la función sea continua en 1, los valores a los que se aproxima cuando se acerca a 1, son iguales tanto si lo hacemos para valores menores o mayores que 1. En ese caso, sí existe el límite cuando tiende a 1, y coincide con .

Repite la escena varias veces, hasta que entiendas lo que se ha explicado.

Esto facilita muchísimo el límite de una función en punto para las funciones continuas, que, como ya hemos visto, son la mayoría de las funciones elementales.

Calcular el límite de cuando tiende, por ejemplo, al punto -1, es muy fácil. Como es una función polinómica, por tanto continua en todo su dominio, basta con hallar .

Para terminar este apartado, veamos un vídeo de juanmemol en el que se explica un límite muy similar al ejercicio anterior: