1.2. Moda y mediana

Desfile de Moda
 Imagen de  José Goulão con licencia Creative Commons

¿Recuerdas el ejemplo anterior de la valoración de nuestro líder político? Volvamos a ver los resultados obtenidos en la encuesta:

Puntuación 0 1 2
3
4
5
6
7
8
9
10
N.º de personas
 12
38 62 97 160 130
65
18
11
6
1

Si bien la media es el valor central más representativo de una muestra, no es el único valor central que podemos calcular. También podemos ver cuál es el dato que más se repite, en nuestro caso, cuál es la puntuación que más personas han elegido para valorar al líder político. En el ejemplo este valor es 4. Este dato es la moda de la variable estadística.

Importante

Se llama moda de una variable estadística al valor de la variable que presenta mayor frecuencia absoluta. La moda se representa por M0.

Si la variable es discreta, el cálculo de la moda no presenta ninguna dificultad, únicamente observamos las frecuencias absolutas en la tabla, vemos cuál es la mayor y la moda será el valor de la variable correspondiente a dicha frecuencia. Puede que haya más de un valor máximo, en este caso la distribución será bimodal (si hay dos), trimodal (si hay tres), ...

Si la variable es continua los valores se agrupan en intervalos, por lo que tendremos un intervalo modal que será el de mayor frecuencia absoluta. No obstante, si consideramos que los datos están uniformemente distribuidos podemos calcular un valor concreto para la moda que vendrá dado por la siguiente fórmula:

Donde Li es el límite inferior del intervalo modal, las frecuencias absolutas corresponden al intervalo modal, al anterior y al siguiente y c es la amplitud de dicho intervalo.

Líder político
 Imagen de IowaPolitics.com con licencia
Creative Commons

Además de la moda, podemos calcular el valor que está justamente en el centro de todos los datos una vez que están ordenados. En nuestro ejemplo tenemos 600 datos, sería interesante conocer cuál es el valor que deja 300 datos menores que él y otros 300 mayores que él. Este dato es la mediana. Para calcularla nos vamos a ayudar de la tabla de frecuencias, a la que añadiremos la columna de la Frecuencia acumulada (Fi). Esta frecuencia se obtiene sumando todas las frecuencias absolutas hasta el dato en el que nos encontramos.

xi fi
Fi
0 12
F1=f1=12
1
38 F2=f1+f2=50
2
62
 F3=f1+f2+f3=112
3
97
209
4
160
369
5
130
499
6
65 564
7
18
582
8
11 593
9
6 599
10
1 600
  N=600
 

Para el cálculo de la mediana lo primero que hay que hacer es construir la tabla de frecuencias anterior. A continuación, calculamos la mitad del número de datos  

  • Si N es impar la mediana corresponderá al xi correspondiente al primer Fi que supere ese valor.
  • Si N es par:
    • Si exite algún valor de la columna Fi que es igual a , la mediana es la media entre el xi correspondiente a ese Fi y el siguiente, xi+1.
    • En caso contrario, la mediana será el xi que se corresponda con el primer valor de Fi que supere a .

En nuestro caso la mediana es 4,porque 4 es el primer valor de la variable cuya frecuencia acumulada supera el valor de 300.

Importante

Se llama mediana de una variable estadística al valor de la variable tal que  el número de observaciones menores que él es igual al número de observaciones mayores que él. La mediana de una variable estadística se represente por Me.

Hemos visto el cálculo de la mediana cuando la variable era discreta. Para el caso de la variable continua, si usamos intervalos se realiza de la misma forma y se obtiene el intervalo mediano. No obstante, si consideramos que los datos se distribuyen uniformemente se puede calcular el valor exacto de la mediana mediante la siguiente fórmula:

AV - Reflexión

Los jugadores de un equipo de baloncesto se clasifican por la altura según la siguiente tabla

 

Alturas Número de jugadores

[1'70,1'80)

[1'80,1'90)

[1'90,2'00)

[2'00,2'10)

3

4

5

3

Hallar la media, el intervalo modal, la moda, el intervalo mediano y la mediana

En la siguiente página puedes encontrar ejercicios resueltos de cálculo de la media, mediana y moda de una serie de datos.

Para saber más

Además de las medidas de centralización existen otras medidas, las medidas de posición. Éstas, como ocurre con la mediana, nos dan el valor que deja un porcentaje de la población a su izquierda. La mediana puede considerarse también una medida de posición, ya que deja el 50% de la población a su izquierda.

Estas medidas son los cuartiles, los deciles  y los percentiles. Realmente los cuartiles corresponden al percentil 25 y 75, pues dejan respectivamente el 25% y el 75% de la población a su izquierda. Vamos a ver en el siguiente vídeo como realizar el cálculo del percentil. 

AV - Pregunta Verdadero-Falso

Responde Verdadero o Falso a las siguientes afirmaciones.

Pregunta 1

Los parámetros estadísticos permiten resumir y sintetizar un gran número de datos, en unos pocos  números que proporcionan una idea lo más aproximada posible de toda la distribución.

Sugerencia

Repasa la teoría

Pregunta 2

Siempre es posible calcular la media aritmética de una distribución estadística

Sugerencia

Recuerda los tipos de variables estadísticas

Pregunta 3

Para el cálculo de la moda es necesario conocer el valor de todos los datos.

Sugerencia

Repasa la definición de moda.

Pregunta 4

La mediana es equivalente al percentil 50.

Sugerencia

Repasa las definiciones de mediana y percentil.

Pregunta 5

Se llaman parámetros de centralización a las medidas que suelen situarse hacia el centro del conjunto de datos ordenados.

Sugerencia

Repasa la definición de parámetros de centralización