3.1. Derivadas elementales
 Imagen de taivasalla en Flickr. Licencia CC by-nc-sa 2.0

 

 

En el "Comprueba lo aprendido" del apartado 2.2. Definición de derivada, se nos pedía calcular la derivada de la función f(x) = x2 - 2x en varios puntos. Observa que se trata de una nueva función, f', que asocia a cada abscisa x el valor de la pendiente (la derivada) de la función f en x.

Importante

Si tenemos una función f(x), denominamos función derivada de f respecto a la variable x a una nueva función que para cada valor x nos proporciona la derivada de la función en el punto x. A la función derivada de f(x) la denotaremos f'(x) aunque también la puedes ver representada como . De esta forma, tenemos que:

 

Recuerda que, con esta definición, la función derivada nos proporciona, para cada punto x, la pendiente de la recta tangente a la función en el punto x.

Los valores de la tabla que rellenamos corresponden a la recta y = 2x-2. ¿Será entonces f'(x) = 2x-2?

Para comprobarlo, vamos a obtener la derivada de f(x) = x2 - 2x en un punto cualquiera x.

f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(x+h)^{2}-2\cdot(x+h)-x^{2}+2x}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h^{2}+2xh-2h}{h}=

 

 =\lim_{h\rightarrow 0}h+2x-2=2x-2

En la siguiente escena de Geogebra distinguimos cómo va surgiendo la derivada de la función f(x) = x3 si vamos manipulando de pendiente.

Comprueba lo aprendido

Utilizando la escena anterior, rellena los siguientes espacios en blanco:
  1. f'(x) le asociada a cada valor x la en el punto x, que es la de la recta tangente en x.
  2. Completa la siguiente tabla de valores de la función derivada
    x -1 0 1 2
    f'(x)

  3. La derivada de f(x)=x3 es f'(x)= (las pontencias las insertaremos utilizando ^, por ejemplo x5 lo expresamos x^5)

Habilitar JavaScript

No nos preocupemos, no va a ser necesario recurrir a la definición para calcular la derivada ni tampoco vamos a tener que representarla gráficamente puesto que serían procesos muy largos y tediosos. Existen unas sencillas reglas prácticas con las que la función derivada de cualquier función elemental se puede hallar muy fácilmente.

Importante

A la derivada de una función también se la denomina derivada primera. Si volvemos a derivar la derivada primera de una función, obtenemos la llamada derivada segunda; la derivada de la derivada segunda se denomina derivada tercera; y así sucesivamente. Éstas son las llamadas derivadas sucesivas de una función:

 

\small f\overset{D}{\rightarrow}f'\overset{D}{\rightarrow}f''\overset{D}{\rightarrow}f'''\overset{D}{\rightarrow}\cdots

 

Al hacer las derivadas sucesivas, puede llegar un momento en el que se repita la derivada indefinidamente. Por ejemplo, la derivadas sucesivas de una constante son siempre cero, y la derivada de la función exponencial f(x) = ex es siempre ella misma.

Reflexiona

¿Existen otras funciones que, a partir de alguna de sus derivadas sucesivas, siempre se repitan?

Creado con eXeLearning (Ventana nueva)