2.1. Teorema del seno

Un triángulo oblicuángulo es un triángulo no rectángulo. Utilizaremos la expresión resolver un triángulo  cuando queramos conocer todos sus elementos, es decir, la longitud de sus tres lados y la medida de sus tres ángulos.

Para esta resolución utilizaremos las siguientes propiedades: la suma de los tres ángulos del triángulo, el teorema del seno y el teorema del coseno.

Importante

En cualquier triángulo de ángulos A, B y C, y lados a, b, c, se cumple que

 

En la siguiente escena, mueve los vértices del triángulo, y así podrás comprobar cómo se cumple el teorema anterior.

Comprueba lo aprendido

Vamos a completar las siguientes afirmaciones sobre este triángulo:

 

  1. El teorema del seno relaciona cada lado con su ángulo .
  2. En nuestro triángulo el lado de dimensión 4, se relaciona con el ángulo que mide º, y esta relación es de .
  3. En nuestro triángulo el lado de dimensión , se relaciona con el ángulo que mide 46,57º, y esta relación es de .
  4. Por lo tanto, la relación existente entre el lado de dimensión 2, y el ángulo 28,96º es de .

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Importante

El teorema del seno permite determinar la longitud de uno de los lados de un triángulo, conociendo:

  • El ángulo opuesto al lado que queremos calcular
  • Otro lado
  • El ángulo opuesto a este lado

Reflexiona

Debido a un incendio, los bomberos han cerrado una zona triangular de la calle. Un periódico decide enviar a unos reporteros (un periodista, un cámara, y un fotógrafo) para cubrir la noticia. Cada uno se sitúa estratégicamente en cada vértice del triángulo. Si la distancia entre el periodista y el fotógrafo es de 12 metros y la que separa al fotógrafo y al cámara es de 14 metros, ¿qué distancia ha de recorrer el periodista para ponerse en contacto con el cámara para hacer la conexión en directo? Hay que tener en cuenta que el ángulo en el que se encuentra el periodista es de 55º.

Para resolver un triángulo donde conocemos un lado, a, y sus dos ángulos adyacentes B y C, debemos calcular los lados b y c, y el ángulo A.

En este caso la única limitación es que la suma de los dos ángulos no puede ser superior a 180º (para que pueda ser un triángulo).

Importante

Para calcular el ángulo que nos falta, utilizamos la propiedad que nos relaciona los tres ángulos de un triángulo. En cuanto a los lados, debemos utilizar el teorema del seno, ya que nos relaciona los dos lados de un triángulo con los dos ángulos opuestos correspondientes.

SUMA DE LOS ÁNGULOS TEOREMA DEL SENO TEOREMA DEL SENO

Reflexiona

Me he despistado en una manisfestación de mi compañero. Sé que vemos una pancarta que está en alto yo con un ángulo de 30º, y él con un ángulo de 80º. Además intuyo que me encuentro a una distancia de 5 metros de dicha pancarta, pero ¿a qué distancia me encuentro de él? Espero que no me sea muy complicado llegar.

Caso de estudio

Ayudemos al pobre Sinuhé a resolver este problema.

Si la longitud del barco es 30 metros y las cuerdas tienen una inclinación de 45º y 30º con respecto a la cubierta del barco, ¿cuál es la longitud de las cuerdas?

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