4. Axiomática de Kolmogorov

Andrei Kolmogorov
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El matemático ruso Andrei Kolmogorov (1903, 1987) basándose en las propiedades del álgebra de sucesos y en las propiedades de las frecuencias relativas, dio una definición de probabilidad basada en un sistema de axiomas.

Importante

 

Para cada suceso A, perteneciente a un espacio muestral E, se define la probabilidad de A (P(A)) como un número que cumple los siguientes axiomas:

1. La probabilidad de cualquier suceso, es siempre mayor o igual que cero: P(A)≥0

2. La probabilidad del espacio muestral es 1: P(E)=1

3. Si tenemos un conjunto de sucesos incompatibles entre sí, entonces la probabilidad de la unión es igual a la suma de las probabilidades. En el caso conjuntos de dos y tres sucesos se expresaría así:

Si tenemos dos sucesos A, B incompatibles  (A∩B=Ø) entonces se cumple que P(AυB)= P(A)+ P(B)

Si tenemos tres sucesos A, B, C, incompatibles dos a dos (A∩B=Ø, A∩C=Ø,B∩C=Ø) entonces se cumple que P(AυBυC)= P(A)+ P(B)+ P(C)


Por lo tanto la probabilidad de un suceso será un número comprendido entre 0 y 1 que mide la mayor o menor posibilidad de que ocurra dicho suceso. Cuanto más cerca de 1 es más probable que ocurra, cuanto más cerca de 0 más difícil.

De los axiomas de arriba se pueden deducir los siguientes teoremas.

Importante

Teorema 1

Si entonces y .

Este resultado es equivalente al siguiente: .

Teorema 2

Para cada suceso A se cumple que .

Teorema 3

La probabilidad del suceso imposible es 0. Es decir .

Teorema 4

Si es el complemento de A se cumple que .

Teorema 5

Si y son sucesos mutuamente excluyentes, entonces:

En particular si el espacio muestral, entonces:

Teorema 6

Si A y B son dos sucesos cualesquiera, entonces:

AV - Pregunta de Elección Múltiple

Pregunta

come quando fuori piove, de auro,
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Ana estaba entretenida con las fichas del Scrabble. Separó unas cuantas letras y dijo a sus amigos:

Tengo aquí las fichas A, B, C, D y E. Las letras A y E valen 1 punto cada una, las letras B y C valen 3 puntos, y la letra D sólo vale 2 puntos.

Vamos a usar los sucesos X = "Sacar la A, la B o la C", Y = "Sacar la B, la C o la D" y Z = "Sacar una ficha de tres puntos".

Sólo os diré que,

  • P(X) = P({A, B, C}) = 0,7

  • P(Y) = P({B, C, D}) = 0,8

  • P(Z) = P({B, C}) = 0,5

 

a) Antes de empezar, ¿qué suceso sería la unión de los dos primeros?

Sugerencia

Ten en cuenta que {A, B, C} significa coger una ficha, y que sea una de esas tres letras.

Respuestas

X U Y = {A, B, C, B, C, D}

X U Y = {A, B, C, D}

Retroalimentación

Pregunta

b) ¿Qué suceso sería la intersección de los dos primeros?

Respuestas

X ∩ Y = {B, C}

X ∩ Y = {A, D}

Retroalimentación

Pregunta

c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una de las cuatro primeras letras?

Sugerencia

Ten en cuenta que obtener una de las cuatro primeras letras es el suceso X U Y. Utiliza las fórmulas que hemos visto antes.

Respuestas

1,5

1

Retroalimentación

Pregunta

d) ¿Cuál es la probabilidad de sacar la letra E?

Sugerencia

"Sacar la letra E" es el complementario de "Sacar una de las cuatro primeras letras"

Respuestas

1 / 5 = 0,2

0

Retroalimentación

Pregunta

e) ¿Cuál es la probabilidad de que salga una letra de 2 puntos?

Sugerencia

Utiliza la diferencia de dos sucesos: P(Y - Z) = P(Y) - P(Y∩Z)

Respuestas

0,8

0,3

Retroalimentación

Caso práctico

Demuestra los teoremas 1, 2 y 3.