2.3. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo
Fíjate que el conjunto de los divisores de 12 es {±1,±2,±3,±4,±6,±12} y que {0,±2,±4,±6,±8,...} es el conjunto de los múltiplos de 2, también llamados números pares.
Observa que un número tiene infinitos múltiplos, mientras que el número de sus divisores es finito. Por eso podemos hablar del máximo común divisor (m.c.d.) y del mínimo común múltiplo (m.c.m). La factorización de los números será muy útil a la hora de calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.
Actividad
El máximo común divisor (m.c.d.) de varios números enteros es el mayor de los divisores comunes a todos ellos.
Se llama mínimo común múltiplo (m.c.m.) de varios números enteros al menor de los múltiplos comunes a todos ellos.
Los pasos a seguir en el cálculo del m.c.d. de varios números enteros son:
- Se descompone cada uno en factores primos.
- Cada número se expresa como producto de factores primos en forma exponencial.
- El m.c.d. es el producto de aquellos factores primos comunes a todos ellos tomados con su menor exponente.
Los pasos a seguir en el cálculo del m.c.m. de varios números son:
- Se descompone cada uno en factores primos.
- Cada número se expresa como producto de factores primos en forma exponencial.
- El m.c.m. es el producto de aquellos factores primos comunes y no comunes a todos ellos tomados con su mayor exponente.
Puedes ver un ejemplo en la siguiente presentación. Lo haremos con dos números, pero se puede hacer con tres o más, el proceso sería el mismo (haz clic en la imagen para ir pasando las diapositivas).
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Fuente propia
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Y en la siguiente escena puedes practicar con estos conceptos. En algunas tendrás que ayudarte de la factorización, mientras que en otras podrás obtener la respuesta aplicando simplemente la definición. Haz click aquí si no está visible a continuación.
Caso de estudio
En mi casa tengo una pared de 435 cm de largo por 240 cm de alto. Deseo cubrirla entera con azulejos de forma cuadrada, todos del mismo tamaño, y usando el menor número posible de ellos (sin romper ninguno).
¿La medida del lado de los azulejos será múltiplo o divisor del largo y del alto de la pared?
La longitud buscada para el lado del azulejo, por tanto, será un divisor de ambos lados y el azulejo debe ser lo más grande posible (para utilizar el menor número de azulejos). Luego, buscamos el MÁXIMO COMÚN DIVISOR de las longitudes de los lados. Intenta calcularlo.
Caso de estudio
