2.2. Múltiplos y divisores. Factorización
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No es casualidad que un mes dure 30 días, ya que nuestro calendario es lunisolar y un mes es el tiempo aproximado que transcurre entre dos mismas fases de la luna.
Como un año tiene doce meses podemos decir que aproximadamente en un año solar transcurre doce veces el ciclo lunar. De forma aproximada, podemos considerar que un año solar es múltiplo del ciclo lunar y por el contrario, que el ciclo lunar es divisor de un año solar.
Actividad
Decimos que un número entero a es múltiplo de b (o que b es divisor de a) si al dividir a entre b la división es exacta.
Por ejemplo, 60 es múltiplo de 12 (o 12 es divisor de 60) ya que 60 : 12 = 5. También se dice que 60 es divisible por 12.
Se observa que 60 = 12 · 5. Cuando un número entero a se escribe como una multiplicación de otros enteros (a = b · c), se dice que los números b y c son factores del número a, que es un número compuesto.
Criterios de divisibilidad.
Existen unas reglas sencillas, los llamados criterios de divisibilidad, que nos permiten saber si un número entero es divisible por 2, 3, 5 u otros, sin necesidad de realizar la división. Los criterios de divisibilidad más útiles son los cuatro siguientes:
- Un número es divisible por dos si termina en cifra par (0, 2, 4, 6 u 8).
Ejemplo: 58 es divisible por dos, pero 57 no lo es. - Un número es divisible por tres si la suma de sus cifras es múltiplo de tres.
Ejemplo: 54 es divisible por tres puesto que 5+4=9 es múltiplo de tres; 55 no es divisible por tres, ya que 5+5=10, que no es múltiplo de tres. - Un número es divsible por cinco si acaba en cero o en cinco.
Ejemplo: 60 es divisible por cinco; 62 no lo es. - Un número es divisible por once si la suma de las cifras que están en lugar par, menos la suma de las cifras que están en lugar impar, da un múltiplo de once.
Ejemplo: 88 es múltiplo de once ya que 8 - 8 = 0, es múltiplo de once. 121 también es múltiplo de once ya que las cifras pares suman 2, y las cifras impares suman 1+1=2, resultando su resta 2 - 2 = 0, que es múltiplo de once.
De estos criterios se deducen otros de forma inmediata. Por ejemplo, un número es divisible por 6 = 2·3, si es divisible por dos y por tres. Y un número es divisible por 10 si acaba en cero.
Objetivos
Necesitas recordar los conceptos de múltiplo y divisor de un número, así como los criterios de divisibilidad por 2, por 3, por 5, por 6 y por 11. Puedes ver ejemplos de cómo se aplican estos criterios y conocer más criterios de divisibilidad, pulsando en el siguiente enlace.
Pregunta Verdadero-Falso
Contesta las siguientes cuestiones:
Retroalimentación
Verdadero
El número acaba en 5.
Retroalimentación
Falso
2 + 5 + 6 + 3 es 16 que no es múltiplo de 3.
Retroalimentación
Verdadero
Acaba en cifra par y la suma de sus cifras es 27 que es múltiplo de 3.
Retroalimentación
Verdadero
Acaba en 0.
Números primos. Descomposición de un número en factores primos.
El concepto de divisor de un número nos permite estudiar números naturales que cumplen determinadas propiedades basadas en dicho concepto. Hablamos de los muy conocidos números primos.
Por distintos motivos, desde la antigüedad los números primos han llamado la atención de matemáticos y científicos en general. Uno de ellos es la fascinación que produce su irregular distribución en el conjunto de los números naturales. Los números primos aparecen distribuidos aquí y allá, encontrándose sectores en donde abundan y otros en donde escasean. Incluso, algunas civilizaciones han llegado a considerar que eran mágicos.
Actividad
Un número primo es aquel que sólo tiene como divisores al 1 y a él mismo.
Los números que no son primos se les llama compuestos.
Se puede decir que todo número compuesto tiene más de dos divisores.
Para calcular números primos se utiliza la Criba de Eratóstenes, que consiste en escribir los números en secuencia e ir tachando primero los múltiplos de 2, seguidamente los múltiplos del primer número sin tachar y así sucesivamente. Los números que se queden sin tachar serán precisamente los números primos.
Los primeros números primos, y que conviene recordar son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 y 19.
Importante
Este resultado es tan importante que se conoce con el nombre de Principio Fundamental de la Aritmética. Los números primos serían, pues, como los ladrillos, los átomos que con la ayuda del producto permiten construir el edificio de la aritmética.
Veamos un ejemplo: