3.4. Perpendicularidad en el espacio

Pitágoras y 3 dimensiones. Mariano Real

Vídeo alojado en Youtube

Nos vamos a ocupar ahora del caso particular en el que nos encontramos con rectas o planos perpendiculares. en este caso, el ángulo que forman los dos elementos es de 90º. El coseno de 90º es 0, por lo que las operaciones se simplifican enormemente.

En alguno de los ejercicios de apartados anteriores has observado que existen infinitas rectas que forman un ángulo de 60º con un plano o puedes comprobar que existen infinitos planos que forman un ángulo de 60º con otro plano. En la imagen de la izquierda puedes observar que existen infinitos planos perpendiculares a otro dado y que pasen por un determinado punto pero, dada una recta, ¿Cuántas rectas perpendiculares a ella y que pasen por un punto existen? o dado un plano, ¿Cuántos planos perpendiculares a dicho plano y que pasen por dos puntos determinados existen? La respuesta a esta y otras preguntas la encontrarás resolviendo los ejercicios que vienen a continuación.

Ejemplo o ejercicio resuelto

Imagen en Flickr de b.e.n bajo CC2.0

Un diseñador gráfico ha ideado la máquina que observas en la imagen de la derecha. Esta imagen va a ser utilizada en una película en 3D. Por este motivo, los programadores informáticos necesitan llevar el modelo gráfico a un modelo matemático con el que poder trabajar posteriormente para dotarlo de movimiento. En la pala que aparece a la derecha del diseño han observado que, debido a la regularidad de sus paredes, la pueden adaptar a dos planos perpendiculares. El primero de los planos lo han determinado, adaptándose a la ecuación . Del segundo plano, dado que tiene que coincidir con otra pieza, saben que debe pasar por los puntos P=(2,-5,4) y Q=(-1,-3,6). ¿Puedes ayudarles a determinar el segundo de los planos?

Retroalimentación

Para determinar la ecuación de un plano necesitamos dos vectores directores y un punto o bien, el vector normal y un punto. Lo vamos a hacer de las dos formas:

1.- Dado que el plano que buscamos es perpendicular al plano , el vector normal de este plano es un vector director del plano que buscamos. Así, un vector director sería:

El otro vector director sería Luego la ecuación del plano sería:

Una manera más directa de hallar un plano, dados un punto y dos vectores dirección, usando determinantes. Puedes verlo en este documento.

2.-Calculamos el vector normal del plano como producto vectorial de los dos vectores del plano (ya calculados en 1)

n= u x v= (2,3,0)

Luego la ecuación del plano ax+by+cz+d=0 pasa a ser 2x+3y+d=0

Averiguamos d sustituyendo cualquiera de los dos puntos que conocemos del plano, por ejemplo P(2,-5,4):

2·2+3·(-5)+d=0 4-15+d=0 d=11

Con lo que el plano es 2x+3y+11=0

Otra forma, un poco más larga y con mayor posibilidad de error pero que utiliza directamente los datos es la siguiente:

Si el plano que buscamos tiene la forma , dado que es perpendicular al plano , entonces, sus vectores normales forman un ángulo de 90º, es decir:

Como pasa por el punto P, entonces P debe verificar la ecuación:

Como pasa por el punto Q, entonces Q debe verificar la ecuación:

Así Despejamos y calculamos:

haciendo

Luego la ecuación del plano es

Ejemplo o ejercicio resuelto

Si tenemos la recta

, recta que pasa por el punto

y que tiene como vector director

. Calcula la recta

, que la corte perpendicularmente y que pase por el punto Q=(-2,5,1)

Retroalimentación

Para resolver este ejercicio vamos a seguir el siguiente camino:

1.- Calculamos la ecuación paramétrica de la recta .

2.- Calculamos un punto genérico de la recta .

3.- Calculamos el vector y le imponemos que sea perpendicular al vector .

4.- La recta que buscamos es la recta que pasa por el punto y tiene como vector director el vector .

Resolvemos siguiendo los puntos anteriores:

1.- Recta que pasa por el punto y tiene como vector director . Así la ecuación de la recta es:

2.- Un punto genérico de la recta sería:

3.- El vector Ahora debemos imponer que sea perpendicular al vector , o lo que es lo mismo, que su producto escalar sea cero:

Es decir:

Por tanto

Así, un vector director de la recta sería el vector .

Así, la recta que buscamos es:

AV - Pregunta de Elección Múltiple

Ejemplo o ejercicio resuelto

Construción del Burj Khalifa (Burj Dubai). Mariano Real

Vídeo alojado en Youtube

El Burj Khalifa es un rascacielos que se encuentra situado en el distrito Downtown Burj Khalifa de la ciudad de Dubái, en Emiratos Árabes Unidos. Es la estructura más alta construida por el hombre. La construcción comenzó el 21 de septiembre de 2004, y su inauguración oficial fue el 4 de enero de 2010.
Se localiza en la parte central de las costas de Dubái.Para verlo en Google Maps pulsa Aquí.
La fecha original de apertura del edificio iba a ser el 31 de diciembre del 2008, aunque, debido a un retraso en la construcción, su finalización e inauguración se vio retrasada hasta el 4 de enero de 2010.

Para realizar la animación que has visto en el vídeo anterior se ha utilizado un dibujo-maqueta que se ha trazado en un ordenador. Como base de la maqueta se ha utilizado un plano que pasa por tres puntos del espacio A=(3,0,0), B=(2,1,1) y C=(-2,4,2). Sobre dicho plano se ha levantado el edificio utilizando como eje la recta que pasa por el punto P=(5,2,8). Calcula la ecuación de esa recta y el punto del plano que coincide con el centro del suelo del edificio.

Retroalimentación

Bueno, lo primero que debes hacer es calcular la ecuación del plano que pasa por los tres puntos. Recuerda que para obtener la ecuación de un plano necesitamos un punto, en este caso y dos vectores directores, en nuestro caso y . Si el plano que buscamos tiene la forma

, su vector normal es perpendicular a los vectores directores, por tanto:

Resolviendo el sistema de ecuaciones (Compatible indeterminado ya que el número de vectores perpendiculares a dos dados es infinito) tenemos que:

Sustituyendo en la segunda ecuación:

Por tanto . Haciendo tenemos que:

Puesto que el punto debe verificar la ecuación del plano, tenemos que:

Luego la ecuación del plano es:

Hay otra manera de hallar la ecuación del plano utilizando determinantes. Puedes verlo aquí.

Ahora, dado que la torre está situada de forma perpendicular al plano, debemos calcular la recta perpendicular al plano que pasa por el punto P=(5,2,8). Para calcular la ecuación de una recta necesitamos conocer un punto por el que pasa, P, y un vector director. En este caso, dado que la recta es perpendicular al plano, el vector director de la recta será el vector normal del plano, es decir . De esta forma, tenemos que la ecuación de la recta es:

Así tenemos que:

Para calcular el punto del plano que coincide con el centro del edificio debemos calcular el punto de corte de la recta con el plano. Es decir, debemos resolver el sistema:

sustituyendo en la primera ecuación