3.3. Ángulo entre una recta y un plano

Curiosidad

Cuando un rayo (recta) incide de forma perpendicular en un plano en el que rebota, este lo hace siguiendo la misma dirección pero en sentido contrario. Por ejemplo, si lanzamos un rayo de luz de forma perpendicular contra un espejo, el rayo rebota saliendo de forma perpendicular. Sin embargo, si en lugar de lanzarlo contra un plano, el rayo lo lanzamos contra una superficie no plana, rebota saliendo en una dirección con un ángulo distinto. Tal es el caso del vídeo que observas a continuación en el que los rayos que llegan del Sol y rebotan en la chapa se concentran en un determinado punto concentrando todo el calor.

Rayos perpendiculares. Mariano Real

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Importante

Esquema de ángulo entre recta y plano

Llamamos ángulo entre recta y plano al ángulo α que forma la recta r con su proyección r' sobre el plano.

Este ángulo α es el complementario (90º-ß) del agudo ß que forman el vector director u de la recta con el vector normal n al plano.

Caso particular: Si el vector director es perpendicular al vector normal del plano, el ángulo que forman es 90º-90º=0. En este caso la recta estaría contenida en el plano.

En los siguientes videos puedes ver ejemplos de como se halla el ángulo entre la recta y un plano.

Ángulo entre una recta y un plano

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Ángulo entre recta y plano

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Ejemplo o ejercicio resuelto

Para mejorar el diseño de un cepillo de dientes, vamos a utilizar una simulación por ordenador en la que la base del cepilllo es el plano de ecuación

. Y un filamento particular sigue la trayectoria de la recta

Interesa averiguar el ángulo entre el filamento y la base del cepillo. Además, se quiere insertar un filamento en la base del cepillo que forme con éste un ángulo de 60º. Necesitan conocer algunas condiciones que debe cumplir la recta que contenga al filamento.

Retroalimentación

Identificamos en primer lugar el vector normal del plano, .

Calculamos ahora el vector director de la recta. Para ello vamos a obtener dos puntos de la misma:

Despejando en la primera ecuación

Haciendo z=0 tenemos el punto

Haciendo z=1 tenemos el punto

Luego el vector director es . Como ya sabes, el vector director de un recta no es único, sino que podemos tomar uno proporcional al anterior. En nuestro caso tomaremos

Calculamos ahora el ángulo que forman el plano y la recta. En este caso sabemos que si el ángulo que forman los dos vectores es , entonces el ángulo que forman la recta y el plano es . Así:

Por tanto Luego el ángulo que forma el filamento con el cepillo es

Si ahora buscamos un filamento que forme un ángulo de 60º con la base del cepillo, necesitamos conocer primero el vector director de esa recta

Sabemos que el ángulo que forma el vector normal del plano con el vector director es 90-60=30º. Por tanto:

Puesto que el módulo del vector director puede ser cualquiera, le podemos exigir que sea un valor concreto. En nuestro caso, para más simplicidad en los cálculos le vamos a exigir que sea 1, así tendremos las dos siguientes ecuaciones: