2.3. Flujo a través de una superficie cerrada

Adaptada de la ilustración en Wikimedia Commons de Chanchocan. CC

Estoy seguro de que ya has comprendido perfectamente lo que es el flujo del campo eléctrico a través de una superficie. Incluso sabes calcularlo, y lo has hecho... en algunas situaciones. Pero, desgraciadamente, las cosas no son siempre tan sencillas.

Calcular el flujo con la expresión  es solo posible si se cumplen tres condiciones:

• El módulo del vector intensidad de campo es el mismo en todos los puntos de la superficie (Fíjate que siempre has hecho los cálculos considerando un campo uniforme).
• La superficie es plana y su área fácil de calcular.
• El ángulo que forman los vectores  y  es el mismo en todos los puntos de la superficie.

Pero claro... no siempre se darán esas condiciones tan ideales ¿Qué hacer entonces? ¿Cómo calcular el flujo en condiciones cualesquiera? Observa la figura y verás... En ella se ilustra una situación bastante general, en la que una superficie no plana (en este caso un elipsoide) está inmersa en un campo eléctrico no uniforme (en este caso parece creado por una carga puntual positiva).

Como ves, en cada punto de la superficie el vector campo es diferente, tanto en módulo como en dirección. Lo mismo sucede con el vector superficie y con el ángulo formado entre ambos vectores. La forma de proceder es la siguiente, muy habitual en Física:

Se divide la superficie en pequeños trocitos, a los que se les conoce como elementos infinitesimales, , tan pequeños que puedas considerar que, en cada uno de ellos, el vector campo es constante y también lo es el ángulo formado entre  y . En esas condiciones es posible calcular un elemento infinitesimal de flujo, .

Una vez calculados los elementos infinitesimales de flujo, tan solo tienes que... sumarlos todos y ¡ya está! Pero claro... ¿cómo de pequeños han de ser los elementos infinitesimales de superficie?... Pues tan pequeños que se puede decir que son planos. En teoría, la cosa funcionará cuando esos elementos infinitesimales se reduzcan a un punto, lo que significa que se deben sumar infinitos elementos infinitesimales de flujo.

Puede darte la impresión que no avanzas mucho y que el problema sigue siendo igual de complicado...

Pero no es así. Afortunadamente, de nuevo llega en tu ayuda el séptimo de caballería, el regimiento matemático. Esa suma de infinitos elementos infinitesimales de flujo no es sino una integral; en concreto una integral de superficie. Y, así, has llegado a la definición más general del flujo:

Esta integral es, en general, poco amigable. Sin embargo, si se cumplen determinadas condiciones, es muy fácil de resolver. Estas condiciones no son, ni más ni menos, que las enumeradas al principio de este apartado, es decir:

1. Que el módulo del vector intensidad de campo sea el mismo en todos los puntos de la superficie S.
2. Que el ángulo que forman los vectores  y  sea también el mismo en todos los puntos de la superficie S.

Si se cumplen estas dos condiciones, la integral se reduce al caso más sencillo:

 

Este es el caso que se empleará en los siguientes apartados del tema, en los que, ahora sí, conocerás el teorema de Gauss y verás su utilidad para calcular campos eléctricos creados por diferentes distribuciones de carga.

Pero antes de pasar al teorema de Gauss, te recomiendo que no dejes de ver el siguiente vídeo. Te servirá para repasar y entender mejor lo que has visto en este apartado.

Vídeo de Universitat Politècnica de València - UPV alojado en Youtube