La disponibilidad de recursos libremente accesibles en Internet hace que la cultura y la ciencia se estén democratizando cada vez más, por lo que el aprendizaje se lleva a cabo no sólo en el aula tradicional.
Galmacci, 2001
Ahora presentamos la necesidad de hacer confluir la probabilidad y las nuevas tecnologías, para facilitarte el aprendizaje de las concepciones probabilísticas. En esta sección mostramos un conjunto de recursos virtuales o applet de GeoGebra, útiles para la enseñanza de la probabilidad, para que así puedas utilizarlos para mejorar tus conocimientos.
En los tres primeros applet A, B y C siguientes, observa que sale un cuadradito pequeño abajo a la derecha que no se ve muy bien, pero que pulsando sobre él puedes poner el applet en pantalla completa. Son applets interactivos que como verás disponen de unos deslizadores con los que puedes modificar las probabilidades o los contenidos de las urnas.
A. De diagrama en árbol a tabla de contingencia
Este applet nos muestra la relación que existe entre la construcción de un diagrama en árbol y la elaboración de una tabla de contingencia. Es dinámico e interactivo pudiendo al introducir datos iniciales obtener los resultados finales.
Este applet completa la relación existente entre la construcción de un diagrama en árbol y la elaboración de una tabla de contingencia. Al ser interactivo puedes introducir los datos necesarios para así obtener los resultados correspondientes.
En este applet de GeoGebra mostramos cómo se puede resolver el problema de dos extracciones sucesivas con reemplazamiento a partir de una urna con bolas Azules (A) y Rojas (R). Puedes cambiar la composición de la urna añadiendo o quitando el número de bolas que desees.
En esta escena se simula la extracción sin reemplazamiento de bolas en una urna, con una cierta composición 3 Azules y 2 Rojas y el cálculo de las probabilidades correspondientes.
2. Conoce tu Reto, conoce el Método de Monte Carlo
1.- El Método de Monte Carlo. El Método de Monte Carlo o de Montecarlo consiste en una técnica estadística y computacional que se utiliza para aproximar soluciones a problemas matemáticos mediante la generación de números aleatorios. Su nombre se deriva del famoso casino de Monte Carlo, que es conocido por el azar y la aleatoriedad en los juegos de azar.
Definir el problema: El primer paso es definir el problema matemático que se quiere resolver. Esto podría ser, en nuestro caso, simular el comportamiento de un experimento aleatorio y que pueda modelarse mediante probabilidades. Generar números aleatorios: El método usa números aleatorios para realizar aproximaciones. Estos números pueden generarse de diversas maneras, de una forma directa o también utilizando algoritmos que produzcan secuencias de números aleatorios.
Realizar muestreo aleatorio: Se generan muestras aleatorias que representan diferentes escenarios del problema. Por ejemplo, si se está aproximando el valor de π, se pueden generar pares de números aleatorios que representen coordenadas (x, y) dentro de un cuadrado, y luego contar cuántas de estas caen dentro de un círculo inscrito en el cuadrado. (Ver la simulación adjunta) Calcular una estimación: Con las muestras aleatorias generadas, se realiza algún cálculo para estimar la solución del problema. Por ejemplo, en el caso de aproximar π, se podría utilizar la proporción de puntos dentro del círculo con respecto al total de puntos generados para calcular una estimación del área del círculo y, por ende, el valor de π. Refinar la aproximación: A medida que se generan más muestras aleatorias, la aproximación debería volverse más precisa. Por lo tanto, el proceso puede repetirse con más iteraciones para obtener una mejor estimación del resultado.
El Método de Montecarlo es especialmente útil para problemas que son difíciles o imposibles de resolver mediante métodos analíticos convencionales, pero que pueden ser aproximados mediante la generación de muestras aleatorias. Es ampliamente utilizado en áreas como la física, la ingeniería, la economía, las finanzas y la ciencia de la computación, entre otros.
3. Planteamos el reto: Uso del Método de Monte Carlo en situaciones de incertidumbre
El Reto: Uso del método de Montecarlo en situaciones de incertidumbre.
Explicaremos a continuación a través del siguiente ejemplo en qué consiste el Método de Montecarlo:
Estimamos el valor de $\pi$, utilizando el método Monte Carlo. Para hacer más entendible el modelo, vamos a aplicarlo a la deducción del número π mediante iteraciones. Para ello vamos a dibujar un cuadrado con su círculo inscrito y haremos 1.000 iteraciones situando los puntos según las coordenadas interiores donde caiga el punto :
Total de Puntos generados: El punto ha caído dentro del cuadrado. Total de Puntos interiores al círculo: El punto ha caído dentro del círculo.
Material de elaboración propia. Círculo inscrito en cuadrado.(CC BY-NC-SA)
Material de elaboración propia. Distribución aleatoria de puntos sobre el cuadrado. Método de Montecarlo.(CC BY-NC-SA)
A partir de estas construcciones, sean el radio del círculo $r=OA$ y el lado del cuadrado $l=2r$. Por tanto, los valores de sus áreas serán:
Área del círculo, $C_i= π \cdot r^2$.
Área del cuadrado, $C_u=(2r)^2$.
Cociente entre dichas áreas, $Q={\Large{\frac{C_i}{C_u}}}={\Large{\frac{π \cdot r^2}{4 \cdot r^2}}}={\Large{\frac{π}{4}}}$.
De esta relación, deducimos que $ π={\Large{\frac{4 \cdot C_i}{C_u}}}$.
En definitiva, cuántos más puntos generemos y situemos en el cuadrado, mejor será la aproximación al valor de las áreas y consiguientemente, al valor de π. Con ayuda de una Hoja de Cálculo (Calc, Excel,...) podemos generar automáticamente una lista de puntos aleatorios sobre el cuadrado (Ver video adjunto). Como resultado final obtendremos el diagrama de dispersión con los puntos situados en el cuadrado, unos exteriores y otros interiores al círculo. Al poder contar el número de puntos con la Hoja de Cálculo, la respuesta a nuestra cuestión ya estará así dispuesta.
Observa el siguiente vídeo que explica como construir la actividad que acabamos de ver.
Material de elaboración propia. Pi en Montecarlo con Calc.(CC BY-NC-SA)
4. Consigue ahora tu mini reto
¿En qué va a consistir el mini reto?
Como sabes tu Reto va a consistir en realizar una simulación del Método de Montecarlo para un determinado contexto de la vida cotidiana. En concreto versará sobre lo que se conoce como el problema del vendedor de periódicos. Es una forma sencilla de ilustrar una categoría de problemas con demanda incierta (estocástica) pero con distribución de probabilidad conocida, donde se debe determinar el tamaño de pedido o lote económico que minimice una función de costos esperados. Este problema es de un sólo período debido a que los periódicos que no se logran vender en un día no se pueden vender al día siguiente a un valor de mercado y por tanto cada exceso de inventario (tamaño de pedido superior a la demanda) tiene un costo monetario asociado.
Sin embargo, en algunas ocasiones se asume que sí se puede vender el inventario en exceso pero a un precio que usualmente es significativamente menor que el costo de adquisición. Este sería, por ejemplo, el caso de una panadería que vende el pan que le sobra de un día al día siguiente a un precio descontado.
En el mismo contexto, realizar un pedido insuficiente para enfrentar la demanda tiene un costo de oportunidad asociado, que en el mejor de los casos se puede estimar como el margen no logrado por quiebre de stock, pero que en la práctica puede incluso provocar la pérdida del cliente (costo muy complejo de estimar).
Antes de abordar este problema, debemos entender y manejar el Método de Montecarlo para su posterior implicación. Nótese que ya hemos tenido un primer acercamiento cuando obtuvimos una aproximación al valor del número π. Pues bien, vamos a usar el modelo frecuentista de la probabilidad en este mini Reto y te proponemos dos situaciones para ello.
Sugerencia
Utiliza para los dos casos una misma Hoja de Cálculo (Calc) de modo que puedas compartir en el mismo archivo todos los resultados. Usaremos adecuadamente entre otros, los siguientes comandos Aleatorio(), Buscar.si, y Contar. Puedes insertar además en dicha hoja los gráficos de la distribución unidimensional.
Reto 1: Lanzamiento de un dado de 6 caras
Deseamos hacer una simulación de 1000 lanzamientos de un dado y obtener la tabla de frecuencias de los resultados que aparecen. Para ello, dispondrás en la cabecera de la Hoja de Cálculo (Calc) como primera fila la siguiente distribución:
xi (=Valores)
p(xi) (=Probabilidades teóricas)
P(xi) (=Probabilidad acumulada)
Li (= Extremo inferior del intervalo)
Ls (=Extremo superior del intervalo)
1
=1/6
2
=1/6
3
=1/6
4
=1/6
5
=1/6
6
=1/6
El resultado de todo ello será el que se muestra en esta captura de pantalla:
Pues bien, ahora nos disponemos a realizar una serie de lanzamientos de un dado usando el comando =Aleatorio() en la primera celda y con la cruz en la esquina inferior izquierda tiramos hasta conseguir 1000 números aleatorios que representarán los 1000 lanzamientos del dado. Ahora bien, con la instrucción Aleatorio() resulta un número al azar comprendido entre 0 y 1. Para que estos valores se interpreten como el resultado en el lanzamiento de un dado, actuaremos así: Supongamos que colocamos el primer lanzamiento en la casilla A12, entonces en la siguiente celda, B12 aplicamos la instrucción =BUSCAR(A12;$D$2:$E$7;$A$2:$A$7) que por sí misma se explica ya que con esta sintaxis, Calc ha de buscar el valor del número aleatorio de la casilla A12 en el rango de casillas fijas $D$2:$E$7 para así asignarle el valor que le corresponda en el rango de casillas fijas $A$2:$A$7.
Observa cómo, en efecto esto sucede en la siguiente imagen capturada:
A continuación se arrastra con el ratón la instrucción de esta casilla B12 hasta la casilla B1011 (=1000 lanzamientos). Por último, ahora debemos contabilizar el número de veces (frecuencia absoluta) de cada uno de los sucesos o resultados obtenidos. Para ello debemos usar el comando =CONTAR.SI del modo siguiente: =CONTAR.SI(B$12:B$1011;D12) que nos permite contabilizar en el rango de casillas que cubren todos los lanzamientos el valor de la casilla D12 =1; y así sucesivamente hasta la casilla D17=6. Lo vemos en la imagen de la derecha:
Por último, completamos la tabla con las frecuencias relativas gracias a la instrucción =E12/CONTAR($A$12:$A$1011) que efectúa así el cociente entre el valor de la casilla correspondiente a la frecuencia absoluta dividida entre el número de tiradas. Este número, ene est caso 100 corresponde a la instrucción =CONTAR($A$12:$A$1011). Lo vemos en esta imagen capturada del archivo:
Sabes que en cualquier momento podemos actualizar todos los datos pulsando la tecla F9y, de este modo, simularíamos distintas series de lanzamientos de dados. El Objetivo de esta actividad es reconocer cómo las frecuencias relativas de cada uno de los resultados se van aproximando al valor teórico de la probabilidad.
Vemos finalmente el Diagrama de Columnas asociado a la tabla de frecuencias relativas:
Material de elaboración propia. Lanzamiento de un dado: diagrama de columnas. (CC BY-NC-SA)
Reto 2: Lanzamiento de un dado de 8 caras
Deseamos ahora realizar una simulación de 1000 lanzamientos con un dado de 8 caras y obtener la tabla de frecuencias de los resultados que aparecen. Para ello, has de seguir similares indicaciones que en el caso anterior del lanzamiento de un dado convencional. Por tanto, puedes editar las instrucciones dadas con anterioridad y modificarlas para su ajuste a esta nueva situación.
