4.2. Aproximación y error

1. Los números en la vida cotidiana

En la vida cotidiana es habitual utilizar valores aproximados en lugar de exactos. Esto queda justificado porque las herramientas y dispositivos que utilizas para medir tienen un límite de precisión o sensibilidad, pero, también, porque sería poco útil por irrelevante. 

Por ejemplo, si te preguntan por el precio del coche que has comprado y por el que has pagado 14.290€, normalmente dices que te ha costado 14.000€. La diferencia de 290 € parece poco importante respecto al precio real.

Vas a recordar cómo se leen los números decimales.

2. Números decimales

Los números decimales constan de una parte entera y otra decimal separadas por un punto o una coma.

En el número 12.34, 12 es la parte entera y 34 la parte decimal.

El número 12.3 se lee 12 con 3 décimas porque se puede escribir como  12 + $\dfrac{3}{10}$. Se dice que la cifra 3 ocupa el lugar de las décimas.

El número 12.04 se lee 12 con 4 centésimas porque se puede escribir como 12 + $\dfrac{4}{100}$. Se dice que la cifra 4 ocupa el lugar de las centésimas.

El número 12.34 se lee 12 con 34 centésimas porque se puede escribir como 12 + $\dfrac{34}{100}$

El siguiente número se lee 12 con trescientos cuarenta y cinco mil seiscientos setenta y ocho millonésimas.

Expresión decimal
Imagen de elaboración propia. (CC BY-NC-SA)

3. Aproximación de un número decimal

Aproximar un número decimal consiste en cambiarlo por otro próximo a él pero con menos cifras decimales.

Por ejemplo, aproximar el número 34.5678 a las centésimas consiste en escribir otro número próximo a él pero con solo dos cifras decimales.

Existen dos formas de aproximar un número:

  • Por truncamiento.
  • Por redondeo.

4. Truncamiento

Aproximación por truncamiento

Consiste en eliminar las cifras que están a la derecha de la unidad a la que debemos truncar.

Por ejemplo:

  • La aproximación a las centésimas por truncamiento del número 3.45678 es:  3.45 (te quedas con las cifras hasta el lugar de la centésimas y eliminas todas las que están a la derecha).
  • La aproximación a las milésimas por truncamiento del número 3.45678 es:  3.456.

5. Redondeo

Aproximación por redondeo

Para aproximar por redondeo un número hasta una unidad posicional determinada, tienes que aplicar la siguiente regla:

  • Si la cifra que hay a la derecha de la unidad a la que deseas aproximar es mayor o igual que 5, entonces sumas 1 a dicha unidad y eliminas todas las cifras situadas a la derecha de esa unidad posicional.
  • Si la cifra que hay a la derecha de la unidad a la que deseas aproximar es menor que 5, entonces eliminas todas las cifras situadas a la derecha de esa unidad posicional.

Ejemplos:

  • La aproximación por redondeo de 7.346 a las décimas es 7.3, pues la cifra situada a la derecha de las décimas (unidad a la que deseas aproximar) es 4 que es un valor menor que 5.
  • La aproximación por redondeo de 8.236 a las centésimas es 8.24, pues la cifra situada a la derecha de las centésimas (unidad a la que deseas aproximar) es 6 que es un valor mayor que 5.

7. Ejercicio de autoevaluación

Completa la tabla adjunta, aproximando por truncamiento y redondeo los números que se indican. 

Ten en cuenta que para escribir el número aproximado debes emplear el punto decimal y no la coma. 

Número Aproximación Truncamiento Redondeo
34.543 A las décimas
21.45679 A las diezmilésimas
7.236 A las centésimas
3.1415926535 A las milésimas

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8. Error absoluto

Precios aproximados
Elaboración propia a partir de imágenes de publicdomainvectors (CC BY-NC-SA)

Pablo se ha comprado un coche por el que ha pagado 15190€, pero cuando le preguntan cuánto le ha costado él dice que 15000€. Por otro lado, Marta ha pagado 231756€ por su nueva casa, pero ella dice que le ha costado 230000€. En ambos casos están dando un valor aproximado del precio real. 

Pablo está cometiendo un error de 190€, pues es la diferencia entre el valor real y el valor aproximado que él da.

Por su parte, Mata está diciendo el precio con un error de 1756€.

Estos errores se denominan errores absolutos y nos indican cuánto se desvía una aproximación del valor real.

El error absoluto es la diferencia, en valor absoluto, entre el valor real y el valor aproximado.

Error absoluto =| Valor real - Valor aproximado |

Recuerda que el valor absoluto de un número es el valor sin signo del número: |-5.12| = 5.12 y |6.3| = 6.3

9. Error relativo

Observa que el error absoluto cometido por Marta es mayor que el de Pablo (1756 > 190).

Sin embargo, si comparamos dichos errores con los valores reales respectivos apreciamos que:

  • en el caso de Pablo obtenemos $\dfrac{190}{15190}$ ≈ 0.0125 = $\dfrac{1.25}{100}$ ≈  1 %
  • en el caso de Marta $\dfrac{1756}{231756}$ ≈ 0.00758 = $\dfrac{0.758}{100}$ ≈ 0.8 %

Es decir, el error cometido por Marta representa una fracción más pequeña de la unidad que el de Pablo (0.00758 < 0.0125).

En otras palabras, el error cometido por Pablo representa el 1 % del valor real, mientras que en el caso de Marta es del 0.8 %.

Por consiguiente, se puede decir que, en términos relativos, la aproximación de Marta es mejor que la de Pablo.

El error relativo es igual al error absoluto dividido entre el valor real.

Error relativo = Valor absoluto / Valor real

Este error relativo también se puede expresar como un porcentaje. Para ello, solo debes multiplicar por 100 el resultado del cociente: Error relativo (porcentaje) = (Valor absoluto / Valor real) *100 %

10. Caso práctico

El error relativo permite comparar errores al realizar mediciones de magnitudes que no son comparables, como por ejemplo la longitud y el peso.

Al medir la estatura de una persona sabes que has cometido un error de 10 cm, y al medir el peso de un elefante el error ha sido de 10 kg. 

¿Qué medición es mejor?

Supón que la estatura real de la persona es de 190 cm y que el elefante pesa 3000 kg.

11. Ejercicio de autoevaluación

Pregunta

Natalia mide 1.72 m pero en su ficha del equipo de natación aparece 1.7 m. ¿Cuál es el error relativo de esa aproximación?

Sugerencia

Debes calcular, previamente, el error absoluto.

Respuestas

0. 116

0.0116

0.02

Retroalimentación

12. Importante

Aproximación de un número

Consiste en cambiarlo por otro próximo a él pero con menos cifras decimales. Existen dos formas de aproximar un número:

  • Por truncamiento.
  • Por redondeo.

El error absoluto

Es la diferencia, en valor absoluto, entre el valor real y el valor aproximado. 

El error relativo

Es igual al error absoluto dividido entre el valor real.

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