2.2. Suma
Recordemos a Gauss y su brillante idea para sumar los 100 primeros números naturales. ¿Podremos generalizarla para sumar los 200 primeros números? ¿O los n primeros?
Volvamos también a los números triángulares. ¿Cuántos puntos tendrá el que ocupa el lugar n?
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| Imagen de elaboración propia |
Relacionemos las dos sucesiones anteriores. Por un lado tenemos la de los números naturales 1, 2, 3, 4... Por otro la de los números triangulares. Hagamos memoria:
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| Imagen de elaboración propia |
Podemos ver que el número triangular que ocupa el lugar n es igual a la suma de los n primeros números naturales: 1 + 2 + 3 + ... + n.
Operando de forma similar a como lo hizo Gauss, tenemos:
| 1 | 2 |
3 |
4 |
... | n-3 | n-2 | n-1 | n |
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| n | n-1 | n-2 | n-3 | ... | 4 | 3 | 2 | 1 | |
| Suma |
n+1 | n+1 | n+1 | n+1 | ... | n+1 | n+1 | n+1 | n+1 |
Por tanto, dos veces la suma de los n primeros números naturales es igual al n·(n+1). Esto quiere decir que la suma de los n primeros números naturales es igual a:
¿Será posible realizar un razonamiento similar para la suma de los primeros términos de cualquier progresión aritmética?
Comprobemos que sí en la siguiente presentación:
Importante
La suma de los 
primeros términos de una progresión aritmética de término general 
es igual a
Caso de estudio
Volvamos al número de asientos que tiene el patio de butacas del teatro Antonio Gala, que vimos en el apartado anterior. Recordemos que la primera fila tenía 20 asientos y que el resto de filas aumenta en 2 asientos respecto a la que tiene delante.
Caso de estudio
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Curso 2009/2010
En una progresión aritmética de 20 términos, el primero es 5 y el décimo 32. Halla su diferencia y la suma de sus primeros 20 términos.
Caso de estudio
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Curso 2010/2011
Sabiendo que el primer término de una progresión aritmética es 30 y el cuarto es 39, halla la diferencia de la progresión y la suma de sus primeros 25 términos.