4. Teorema de la probabilidad total
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| Imagen de oskay con licencia Creative Commons |
En la fábrica de tuercas "MITORNILLO, S.A." han hecho un estudio sobre las tres máquinas que hacen tuercas de 6/17 pulgadas. Se sabe que la máquina A produce el 25% de las tuercas; la segunda máquina B produce el 45% de las tuercas y la máquina C, el 30% restante. Han calculado las tuercas defectuosas que produce cada máquina. A produce un 2% , B un 3% y C un 1%.
Si cogemos una tuerca al azar de entre todas las fabricadas en la última hora. ¿Qué probabilidad existe de que sea defectuosa?
Vamos a plantear el problema. Empezaremos definiendo los sucesos:
D={tuerca defectuosa} noD={tuerca no defectuosa} A={tuerca fabricada por la máquina A} B={tuerca fabricada por la máquina B} C={tuerca fabricada por la máquina C}
En nuestro caso tenemos que calcular P(D) = P(D ∩ A) + P(D ∩ B) + P(D ∩ C).
Aplicando la fórmula de la probabilidad condicionada a las intersecciones:
P(D) = P(D/A)·P(A) + P(D/B)·P(B) + P(D/C)·P(C)
Veamos el valor de cada una de estas probabilidades con el siguiente diagrama. Fíjate que en este caso el total de las tuercas está producido por las máquinas A, B y C y cada una de ellas tiene la característica tuercas defectuosas o tuercas no defectuosas:
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| Imagen de PePe García con licencia CC |
Por lo tanto sustituyendo en nuestro problema tendremos:
P(D)=0,02 · 0,25 + 0,03 · 0,45 + 0,01 · 0,30 = 0,005 + 0,0135 + 0,003 = 0,0215
Es decir, existe una probabilidad del 0,0215 de que una tuerca escogida al azar sea defectuosa.
Importante
Dado un experimento aleatorio E y un conjunto de sucesos A1, A2, ....,An asociados a E tal que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, son incompatibles dos a dos y A1 ∪ A2 ∪.... ∪ An = E (Suceso cierto) y sea B un suceso cualquiera para el que se conocen las probabilidades de B/Ai. Entonces la probabilidad del suceso B viene dada por la siguiente expresión :
Este resultado se conoce con el nombre de teorema de la probabilidad total.
Ejemplo o ejercicio resuelto
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| Imagen de Olga Díez (Caliope) con licencia Creative Commons |
En un aula de dibujo hay 40 sillas, 30 con respaldo y 10 sin él. Entre las sillas sin respaldo hay 3 nuevas y entre las sillas sin respaldo hay 7 nuevas.
Si entro en el aula y me siento en una silla al azar , ¿cuál es la probabilidad de que la silla sea nueva?
AV - Reflexión
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| Imagen de Wikimedia Commons |
En la Comunidad de Aragón, la distribución de población activa por provincias y sexo viene dada en % la siguiente tabla.
| Provincia | Hombres | Mujeres |
| Huesca | 61% | 39% |
| Teruel | 60% | 40% |
| Zaragoza | 56% | 44% |
| Datos del INE | ||
Dentro de la comunidad autónoma el porcentaje de población activa viene dado por los siguiente valores:
| Provincia | Población activa |
| Huesca | 16% |
| Teruel | 10,5% |
| Zaragoza | 73,5% |
| Datos del INE | |
Si escogemos una persona al azar que pertenece a la población activa de la comunidad autónoma, ¿cuál es la probabilidad de que sea una mujer trabajadora?