3.3. Resolución de límites que presentan indeterminaciones III
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| Arctic Hare Imagen obtenida de la Fundación Wikipedia bajo licencia Creative Commons. |
La imagen que nos ha llegado de los conejos es siempre simpática y alegre. Desde el conejo que siempre llega tarde de Alicia en el Pais de las Maravillas, al conejo de Warner Bross, Bugs Bunny. Pero la realidad en muchas poblaciones es otra y se detectan plagas de conejos que eliminan cosechas completas. Si los conejos no tuvieran predadores ¿a qué cantidad llegarían?
Ya hemos visto varias situaciones donde se obtienen infinitos conejos, infinitas zanahorias, pero ... ¿son iguales todos los infinitos?
Sabemos que 
y que 
, pero ¿qué ocurriría con la función f(x) = x - ln(x)?
| x | f(x)= x - ln(x) |
| 1 | 1 |
| 10 | 7,7 |
| 100 | 95,4 |
| 1000 | 993,1 |
| 10000 | 9990.8 |
| 100000 | 99988,5 |
Veamos una tabla para comprobar a donde tiende la función
Es decir, nos encontramos que el primer infinito es "mayor" que el segundo, por lo tanto, el límite de la función será infinito.
Así mismo, podriamos trabajar con la función f(x) = ln(x) - x. En este caso, también tenemos que el 
coincidirá con 
. Pero ahora el primer infinito es de orden inferior al segundo, por lo que estariamos ante la siguiente situación
Al ser "mayor" el segundo infinito, tenemos que 
.
Actividad
Órdenes de infinitos
Dadas dos potencias de x, la de mayor exponente es un infinito de orden superior.
Dadas dos funciones exponenciales de base mayor que 1, la de mayor base es un infinito de orden superior.
Cualquier función exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a cualquier potencia de x.
Las potencias de x son infinitos de orden superior a las funciones logarítmicas.
Dos polinomios del mismo grado o dos exponenciales de la misma base son infinitos del mismo orden.
Ejemplo o ejercicio resuelto
Indica el límite, cuando 
de las siguintes expresiones.
1. 
2. 
Ahora bien, podemos encontrarnos con funciones que no sean polinomios ó funciones radicales. En ocasiones, deberemos calcular límites donde aparezcan fracciones algebraicas, como en el caso siguiente:
Aqui nos encontramos con dos infinitos pero no sabemos cuál es mayor. Para determinar el límite de la función, debemos realizar las operaciones algebraicas correspondientes para poder determinar el límite. Veamos este caso
AV - Pregunta de Elección Múltiple
, debemos multiplicar y dividir por 
, para que desaparezcan las diferencias de raices. Veamos un ejemplo.
Ejemplo o ejercicio resuelto
Calcula el siguiente límite 
AV - Pregunta de Elección Múltiple
Ejemplo o ejercicio resuelto
Para saber más
Em el apartado 3, cuando hablamos de las indeterminaciones, incluimos una serie de indeterminaciones de tipo potencial y exponencial, en concreto nos referimos a las del tipo 
.
Esas indeterminaciones no vamos a tratarlas aquí pero si quieres conocer en qué consisten y como resolverlas puedes encontrar ejemplos resueltos en la siguiente dirección: