Correcto!

Para resolver este problema, aplicaremos el Teorema Central del Límite (TCL), que nos permite aproximar la distribución de la media muestral a una distribución normal cuando el tamaño de la muestra es suficientemente grande.

Paso 1: Definir los Parámetros

Media de la población (\(\mu\)): 170 cm

Desviación típica de la población (\(\sigma\)): 10 cm

Tamaño de la muestra (\(n\)): 50

Paso 2: Calcular la Desviación típica de la Media Muestral

La desviación típica de la media muestral (\(\sigma_{\bar{x}}\)) se calcula como:

\[
\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{10}{\sqrt{50}} \approx 1.41
\]

Paso 3: Tipificar la Media Muestral

Para encontrar la probabilidad de que la media muestral sea menor que 168 cm, primero convertimos el valor de la media muestral a un valor \(Z\) en la distribución normal estándar:

\[
Z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma_{\bar{x}}} = \frac{168 - 170}{1.41} \approx -1.42
\]

Paso 4: Usar la Tabla de la Distribución Normal

Ahora, buscamos la probabilidad asociada con \(Z = -1.42\) en la tabla de la distribución normal estándar. Recuerda que no vienen valores de Z negativos ni probabilidades de casos Z mayores que, para resolverlos usamos simetría y suceso contrario:

\[
P(Z < -1.42)=P(Z>+1.42)=1-P(Z<+1.42)\approx 1-0.9222 \approx 0.0778
\]

Por lo tanto, la probabilidad de que la media muestral sea menor que 168 cm es aproximadamente 0.0778 o 7.78%.

¡Correcto!

Para resolver este problema, aplicaremos el Teorema Central del Límite (TCL), que nos permite aproximar la distribución de la media muestral a una distribución normal cuando el tamaño de la muestra es suficientemente grande.

Paso 1: Definir los Parámetros

Media de la población (\(\mu\)): 100 gramos

Desviación típica de la población (\(\sigma\)): 15 gramos

Tamaño de la muestra (\(n\)): 40

Paso 2: Calcular la Desviación típica de la Media Muestral

La desviación típica de la media muestral (\(\sigma_{\bar{x}}\)) se calcula como:

\[
\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{15}{\sqrt{40}} \approx 2.37
\]

Paso 3: Tipificar los Valores de la Media Muestral

Para encontrar la probabilidad de que la media muestral esté entre 98 y 102 gramos, primero convertimos los valores de la media muestral a valores \(Z\) en la distribución normal estándar:Para \( \bar{x} = 98 \):

\[Z_1 = \frac{98 - 100}{\sigma_{\bar{x}}} = \frac{98 - 100}{2.37} \approx -0.84\]

Para \( \bar{x} = 102 \):

\[Z_2 = \frac{102 - 100}{\sigma_{\bar{x}}} = \frac{102 - 100}{2.37} \approx 0.84\]

Paso 4: Usar la Tabla de la Distribución Normal

Ahora, buscamos las probabilidades asociadas con \(Z_1 = -0.84\) y \(Z_2 = 0.84\) en la tabla de la distribución normal estándar. En el primer caso recuerda que debemos aplicar tanto la simetría por ser el valor de Z negativo como el uso del complemento por resultar después una probabilidad de que z sea mayor que el valor positivo:

\[P(Z < -0.84)=P(Z >+0.84)=1-P(Z < +0.84)\approx=1-0.7996 \approx 0.2004\]

\[P(Z < 0.84) \approx 0.7996\]

Para encontrar la probabilidad de que la media muestral esté entre 98 y 102 gramos, restamos estas probabilidades:

\[
P(-0.84 < Z < 0.84) = P(Z < 0.84) - P(Z < -0.84) \approx 0.7996 - 0.2004 = 0.5992
\]

Por lo tanto, la probabilidad de que la media del peso de la muestra esté entre 98 y 102 gramos es aproximadamente 0.5992 o 59.92%.

¡Correcto!

Para resolver este problema, aplicaremos el Teorema Central del Límite (TCL), que nos permite aproximar la distribución de la media muestral a una distribución normal cuando el tamaño de la muestra es suficientemente grande.

Paso 1: Definir los Parámetros

Media de la población (\(\mu\)): 30 minutos

Desviación típica de la población (\(\sigma\)): 12 minutos

Tamaño de la muestra (\(n\)): 100

Paso 2: Calcular la Desviación típica de la Media Muestral

La desviación típica de la media muestral (\(\sigma_{\bar{x}}\)) se calcula como:\[
\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{12}{\sqrt{100}} = 1.2
\]

Paso 3: Tipificar el Valor de la Media Muestral

Para encontrar la probabilidad de que la media muestral sea superior a 32 minutos, primero convertimos el valor de la media muestral a un valor \(Z\) en la distribución normal estándar:

\[
Z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma_{\bar{x}}} = \frac{32 - 30}{1.2} \approx 1.67
\]

Paso 4: Usar la Tabla de la Distribución Normal

Ahora, buscamos la probabilidad asociada con \(Z = 1.67\) en la tabla de la distribución normal estándar.\[
P(Z > 1.67) = 1 - P(Z < 1.67)
\]Buscamos \(P(Z < 1.67)\) en la tabla de la distribución normal estándar:\[
P(Z < 1.67) \approx 0.9525
\]Por lo tanto,\[
P(Z > 1.67) = 1 - 0.9525 = 0.0475
\]Por lo tanto, la probabilidad de que el tiempo promedio de respuesta sea superior a 32 minutos es aproximadamente 0.0475 o 4.75%.

¡Correcto!

Para resolver este problema, aplicaremos el Teorema Central del Límite (TCL), que nos permite aproximar la distribución de la media muestral a una distribución normal cuando el tamaño de la muestra es suficientemente grande.

Paso 1: Definir los Parámetros

Media de la población (\(\mu\)): 20 horas

Desviación típica de la población (\(\sigma\)): 5 horas

Tamaño de la muestra (\(n\)): 60

Paso 2: Calcular la Desviación típica de la Media Muestral

La desviación típica de la media muestral (\(\sigma_{\bar{x}}\)) se calcula como:\[
\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{5}{\sqrt{60}} \approx 0.645
\]

Paso 3: Tipificar los Valores de la Media Muestral

Para encontrar la probabilidad de que la media muestral esté entre 19 y 21 horas, primero convertimos los valores de la media muestral a valores \(Z\) en la distribución normal estándar:

Para \( \bar{x} = 19 \):
\[
Z_1 = \frac{19 - 20}{\sigma_{\bar{x}}} = \frac{19 - 20}{0.645} \approx -1.55
\]Para \( \bar{x} = 21 \):
\[
Z_2 = \frac{21 - 20}{\sigma_{\bar{x}}} = \frac{21 - 20}{0.645} \approx 1.55
\]

Paso 4: Usar la Tabla de la Distribución Normal

Ahora, buscamos las probabilidades asociadas con \(Z_1 = -1.55\) y \(Z_2 = 1.55\) en la tabla de la distribución normal estándar. En el primer caso por ser el valor buscado negativo habrá que usar la simetría y luego el complemento, como en casos anteriores:

\[
P(Z < -1.55)= P(Z >+1.55)=1-P(Z < +1.55)\approx 1-0.9394 \approx 0.0606
\]
\[
P(Z < 1.55) \approx 0.9394
\]

Para encontrar la probabilidad de que la media muestral esté entre 19 y 21 horas, restamos estas probabilidades:\[
P(-1.55 < Z < 1.55) = P(Z < 1.55) - P(Z < -1.55) \approx 0.9394 - 0.0606 = 0.8788
\]

Por lo tanto, la probabilidad de que la duración media muestral esté entre 19 y 21 horas es aproximadamente 0.8788 o 87.88%.

¡Correcto!

Para resolver este problema, aplicaremos el Teorema Central del Límite (TCL), que nos permite aproximar la distribución de la media muestral a una distribución normal cuando el tamaño de la muestra es suficientemente grande.

Paso 1: Definir los Parámetros

Media de la población (\(\mu\)): 5 kg

Desviación típica de la población (\(\sigma\)): 0.5 kg

Tamaño de la muestra (\(n\)): 45

Paso 2: Calcular la Desviación típica de la Media Muestral

La desviación típica de la media muestral (\(\sigma_{\bar{x}}\)) se calcula como:\[
\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{0.5}{\sqrt{45}} \approx 0.0745
\]

Paso 3: Tipificar los Valores de la Media Muestral

Para encontrar la probabilidad de que la media muestral esté entre 4.8 kg y 5.2 kg, primero convertimos los valores de la media muestral a valores \(Z\) en la distribución normal estándar: Para \( \bar{x} = 4.8 \):
\[
Z_1 = \frac{4.8 - 5}{\sigma_{\bar{x}}} = \frac{4.8 - 5}{0.0745} \approx -2.68
\]Para \( \bar{x} = 5.2 \):
\[
Z_2 = \frac{5.2 - 5}{\sigma_{\bar{x}}} = \frac{5.2 - 5}{0.0745} \approx 2.68
\]

Paso 4: Usar la Tabla de la Distribución Normal

Ahora, buscamos las probabilidades asociadas con \(Z_1 = -2.68\) y \(Z_2 = 2.68\) en la tabla de la distribución normal estándar. Igual que en los casos anteriores, en la primera probabilidad habrá que emplear simetría y complemento por ser el valor buscado de Z negativo:

\[
P(Z < -2.68) =P(Z > +2.68)=1-P(Z < +2.68)\approx 1-0.9963 \approx 0.0037
\]
\[
P(Z < 2.68) \approx 0.9963
\]Para encontrar la probabilidad de que la media muestral esté entre 4.8 kg y 5.2 kg, restamos estas probabilidades:\[
P(-2.68 < Z < 2.68) = P(Z < 2.68) - P(Z < -2.68) \approx 0.9963 - 0.0037 = 0.9926
\]

Por lo tanto, la probabilidad de que el peso medio de la muestra esté entre 4.8 kg y 5.2 kg es aproximadamente 0.9926 o 99.26%.

¡Correcto!

Para resolver este problema, aplicaremos la aproximación de la distribución de las proporciones muestrales a la normal \(N\left(p \text{ ; } \sqrt{{\large{\frac{p \cdot (1 - p)}{n}}}}\right)\).

Paso 1: Definir los Parámetros

Proporción poblacional (\(p\)): 0.40

Tamaño de la muestra (\(n\)): 200

Paso 2: Calcular la Desviación típica de la Proporción Muestral

La desviación típica de la proporción muestral (\(\sigma_{\hat{p}}\)) se calcula como:

\[
\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p \cdot (1 - p)}{n}} = \sqrt{\frac{0.40 \cdot (1 - 0.40)}{200}} = \sqrt{\frac{0.40 \cdot 0.60}{200}} = \sqrt{\frac{0.24}{200}} \approx 0.0346
\]

Paso 3: Tipificar los Valores de la Proporción Muestral

Para encontrar la probabilidad de que la proporción muestral esté entre 0.35 y 0.45, primero convertimos los valores de la proporción muestral a valores \(Z\) en la distribución normal estándar:

Para \( \hat{p} = 0.35 \):
\[
Z_1 = \frac{0.35 - 0.40}{\sigma_{\hat{p}}} = \frac{0.35 - 0.40}{0.0346} \approx -1.45
\]

Para \( \hat{p} = 0.45 \):
\[
Z_2 = \frac{0.45 - 0.40}{\sigma_{\hat{p}}} = \frac{0.45 - 0.40}{0.0346} \approx 1.45
\]

Paso 4: Usar la Tabla de la Distribución Normal

Ahora, buscamos las probabilidades asociadas con \(Z_1 = -1.45\) y \(Z_2 = 1.45\) en la tabla de la distribución normal estándar. En el primer caso como el valor de Z es negativo debemos aplicar simetría y complemento:

\[
P(Z < -1.45)=P(Z > +1.45) = 1-P(Z < +1.45) \approx 1-0.9265 \approx 0.0735
\]
\[
P(Z < 1.45) \approx 0.9265
\]

Para encontrar la probabilidad de que la proporción muestral esté entre 0.35 y 0.45, restamos estas probabilidades:

\[
P(-1.45 < Z < 1.45) = P(Z < 1.45) - P(Z < -1.45) \approx 0.9265 - 0.0735 = 0.8530
\]

Por lo tanto, la probabilidad de que la proporción muestral de consumidores que prefieren esa marca esté entre 0.35 y 0.45 es aproximadamente 0.853 o 85.3%.

¡Correcto!

Para resolver este problema, aplicaremos la aproximación de la distribución de las proporciones muestrales a la normal \(N\left(p \text{ ; } \sqrt{{\large{\frac{p \cdot (1 - p)}{n}}}}\right)\).

Paso 1: Definir los Parámetros

Proporción poblacional (\(p\)): 0.70

Tamaño de la muestra (\(n\)): 150

Paso 2: Calcular la Desviación típica de la Proporción Muestral

La desviación típica de la proporción muestral (\(\sigma_{\hat{p}}\)) se calcula como:

\[
\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p \cdot (1 - p)}{n}} = \sqrt{\frac{0.70 \cdot (1 - 0.70)}{150}} = \sqrt{\frac{0.70 \cdot 0.30}{150}} = \sqrt{\frac{0.21}{150}} \approx 0.0374
\]

Paso 3: Tipificar el Valor de la Proporción Muestral

Para encontrar la probabilidad de que la proporción muestral sea mayor al 75%, primero convertimos el valor de la proporción muestral a un valor \(Z\) en la distribución normal estándar:

Para \( \hat{p} = 0.75 \):
\[
Z = \frac{0.75 - 0.70}{\sigma_{\hat{p}}} = \frac{0.75 - 0.70}{0.0374} \approx 1.34
\]

Paso 4: Usar la Tabla de la Distribución Normal

Ahora, buscamos la probabilidad asociada con \(Z = 1.34\) en la tabla de la distribución normal estándar. Recuerda que tenemos que aplicar el complemento porque no vienen en la tabla de la distribución normal probabilidades mayores que un valor de Z, sino menores:

\[
P(Z > 1.34) = 1 - P(Z < 1.34)
\]

Buscamos \(P(Z < 1.34)\) en la tabla de la distribución normal estándar:

\[
P(Z < 1.34) \approx 0.9099
\]

Por lo tanto,

\[
P(Z > 1.34) = 1 - 0.9099 = 0.0901
\]

Por lo tanto, la probabilidad de que la proporción muestral que usa redes sociales diariamente sea mayor al 75% es aproximadamente 0.0901 o 9.01%.

¡Correcto!

Para resolver este problema, aplicaremos la aproximación de la distribución de las proporciones muestrales a la normal \(N\left(p \text{ ; } \sqrt{{\large{\frac{p \cdot (1 - p)}{n}}}}\right)\).

Paso 1: Definir los Parámetros

Proporción poblacional (\(p\)): 0.55

Tamaño de la muestra (\(n\)): 500

Paso 2: Calcular la Desviación típica de la Proporción Muestral

La desviación típica de la proporción muestral (\(\sigma_{\hat{p}}\)) se calcula como:

\[
\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p \cdot (1 - p)}{n}} = \sqrt{\frac{0.55 \cdot (1 - 0.55)}{500}} = \sqrt{\frac{0.55 \cdot 0.45}{500}} = \sqrt{\frac{0.2475}{500}} \approx 0.0222
\]

Paso 3: Tipificar los Valores de la Proporción Muestral

Para encontrar la probabilidad de que la proporción muestral esté entre 0.52 y 0.58, primero convertimos los valores de la proporción muestral a valores \(Z\) en la distribución normal estándar:

Para \( \hat{p} = 0.52 \):
\[
Z_1 = \frac{0.52 - 0.55}{\sigma_{\hat{p}}} = \frac{0.52 - 0.55}{0.0222} \approx -1.35
\]

Para \( \hat{p} = 0.58 \):
\[
Z_2 = \frac{0.58 - 0.55}{\sigma_{\hat{p}}} = \frac{0.58 - 0.55}{0.0222} \approx 1.35
\]

Paso 4: Usar la Tabla de la Distribución Normal

Ahora, buscamos las probabilidades asociadas con \(Z_1 = -1.35\) y \(Z_2 = 1.35\) en la tabla de la distribución normal estándar. En el primer caso debemos aplicar tanto la simetría como el complemento por ser el valor tipificado negativo:

\[
P(Z < -1.35) = P(Z > +1.35)=1-P(Z < +1.35) \approx 1-0.9115 \approx 0.0885
\]
\[
P(Z < 1.35) \approx 0.9115
\]

Para encontrar la probabilidad de que la proporción muestral esté entre 0.52 y 0.58, restamos estas probabilidades:

\[
P(-1.35 < Z < 1.35) = P(Z < 1.35) - P(Z < -1.35) \approx 0.9115 - 0.0885 = 0.8230
\]

Por lo tanto, la probabilidad de que la proporción muestral que apoya al candidato esté entre 0.52 y 0.58 es aproximadamente 0.8230 o 82.30%.

¡Correcto!

Para resolver este problema, aplicaremos la aproximación de la distribución de las proporciones muestrales a la normal \(N\left(p \text{ ; } \sqrt{{\large{\frac{p \cdot (1 - p)}{n}}}}\right)\).

Paso 1: Definir los Parámetros

Proporción poblacional (\(p\)): 0.65

Tamaño de la muestra (\(n\)): 80

Paso 2: Calcular la Desviación típica de la Proporción Muestral

La desviación típica de la proporción muestral (\(\sigma_{\hat{p}}\)) se calcula como:

\[
\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p \cdot (1 - p)}{n}} = \sqrt{\frac{0.65 \cdot (1 - 0.65)}{80}} = \sqrt{\frac{0.65 \cdot 0.35}{80}} = \sqrt{\frac{0.2275}{80}} \approx 0.0533
\]

Paso 3: Tipificar el Valor de la Proporción Muestral

Para encontrar la probabilidad de que la proporción muestral sea inferior al $60\%$, primero convertimos el valor de la proporción muestral a un valor \(Z\) en la distribución normal estándar:

Para \( \hat{p} = 0.60 \):
\[
Z = \frac{0.60 - 0.65}{\sigma_{\hat{p}}} = \frac{0.60 - 0.65}{0.0533} \approx -0.94
\]

Paso 4: Usar la Tabla de la Distribución Normal

Ahora, buscamos la probabilidad asociada con \(Z = -0.94\) en la tabla de la distribución normal estándar. Hay que usar la simetría y el complemento como en los casos anteriores:

\[
P(Z < -0.94)=P(Z > +0.94)=1-P(Z < +0.94) \approx 1-0.8264 \approx 0.1736
\]

Por lo tanto, la probabilidad de que la proporción muestral de éxito sea inferior al $60\%$ es aproximadamente $0.1736$ o $17.36\%$.

¡Correcto!

Para resolver este problema, aplicaremos la aproximación de la distribución de las proporciones muestrales a la normal \(N\left(p \text{ ; } \sqrt{\frac{p \cdot (1 - p)}{n}}\right)\).

Paso 1: Definir los Parámetros

Proporción poblacional (\(p\)): 0.50

Tamaño de la muestra (\(n\)): 250

Paso 2: Calcular la Desviación típica de la Proporción Muestral

La desviación típica de la proporción muestral (\(\sigma_{\hat{p}}\)) se calcula como:

\[
\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p \cdot (1 - p)}{n}} = \sqrt{\frac{0.50 \cdot (1 - 0.50)}{250}} = \sqrt{\frac{0.50 \cdot 0.50}{250}} = \sqrt{\frac{0.25}{250}} = \sqrt{0.001} \approx 0.0316
\]

Paso 3: Tipificar el Valor de la Proporción Muestral

Para encontrar la probabilidad de que la proporción muestral sea mayor al $55\%$, primero convertimos el valor de la proporción muestral a un valor \(Z\) en la distribución normal estándar:

Para \( \hat{p} = 0.55 \):
\[
Z = \frac{0.55 - 0.50}{\sigma_{\hat{p}}} = \frac{0.55 - 0.50}{0.0316} \approx 1.58
\]

Paso 4: Usar la Tabla de la Distribución Normal

Ahora, buscamos la probabilidad asociada con \(Z = 1.58\) en la tabla de la distribución normal estándar. Usamos el complemento porque no viene en la tabla probabilidades mayores que sino menores que:

\[
P(Z > 1.58) = 1 - P(Z < 1.58)
\]

Buscamos \(P(Z < 1.58)\) en la tabla de la distribución normal estándar:

\[
P(Z < 1.58) \approx 0.9429
\]

Por lo tanto,

\[
P(Z > 1.58) = 1 - 0.9429 = 0.0571
\]

Por lo tanto, la probabilidad de que la proporción muestral que usa aplicaciones de mensajería instantánea sea mayor al 55% es aproximadamente 0.0571 o 5.71%.