1.3 Funciones cuadráticas y otras polinómicas

Fórmula 1 — Fotografía en Flickr por f1lou bajo CC

Ejemplo:

El "Fórmula Uno" del apartado anterior mantenía la velocidad constante durante toda la recta. Esa situación es poco probable, en una recta tan larga los pilotos, como es lógico, suelen acelerar.
En la siguiente tabla se vuelven a relacionar el tiempo y la distancia a la que está el "F1" del inicio de la recta. Si la miras con detenimiento podrás ver que se empieza a cronometrar cuando el coche se encuentra a 66 metros del comienzo de dicho tramo. Además, cada segundo que pasa el espacio que recorre aumenta (no es constante como en el caso de las funciones lineales y afines). Este tipo de movimientos se denominan uniformemente acelerados.

Tabla de valores de f

En la siguiente imagen se puede ver cómo es la gráfica de esta nueva función. Junto a ella aparece representada cómo van aumentando las distancias recorridas en cada tramo de 1 segundo de tiempo.

Gráfica de f

La expresión analítica de dicha función es . Como puedes ver su fórmula es un polinomio de segundo grado y su gráfica una parábola. A las funciones de este tipo se las denomina cuadráticas.

Importante

A las funciones cuya expresión algebraica es del tipo , donde , y son números reales y , se les denomina funciones cuadráticas.

El dominio de cualquier función cuadrática son todos los números reales. La gráfica es una parábola con el eje de simetría paralelo al eje de ordenadas, y para saber el recorrido es necesario conocer el vértice de dicha parábola.
La parábola es una de las curvas clásicas de las matemáticas, las cónicas. Su silueta aparece en muchos procesos físicos como pueden ser el lanzamiento de objetos o el chorro del agua en las fuentes, también en el diseño de faros, antenas o cualquier otro cuerpo que emita o capte algún tipo de onda, y en obras de arte y arquitectura.

Parábolas en la arquitectura — Fotografía en Flickr de juanyaogura bajo CC

Antena parabólica — Fotografía en Flickr de fainmen bajo CC

En la siguiente presentación se describe con claridad todo lo relativo a las funciones cuadráticas:

Presentación en Slideshare por saulvalper

Comprueba lo aprendido

Una persona se encuentra situada en la terraza de un edificio, lanza una pelota hacia arriba. La función que relaciona los segundos que transcurren desde el lanzamiento con la altura, en metros, a la que se encuentra la pelota es .

Ayúdate de lo que ya sabes de la función cuadrática y completa las siguientes frases.

En el siguiente vídeo, puedes ver cómo representar una función cuadrática:

Vídeo de tutomate alojado en Youtube

Ejercicio Resuelto

Representa la función .

Retroalimentación

En primer lugar, tenemos que determinar qué tipo de función es la que nos piden representar. Si operamos obtenemos . Lo expresamos con la otra notación: f(x)= -x²+x
Es una función cuadrática, su gráfica es una parábola. Hagamos el estudio previo a su representación.
Como el coeficiente que multiplica al término en es negativo, las ramas parabólicas van hacia abajo y, por tanto, el vértice será el punto máximo de la parábola.
Corte con el eje OY: hallamos f(0)= -(0)²+(0), por tanto la parábola pasa por el punto (0,0), origen de coordenadas.
Corte con el eje OX: resolvemos la ecuación f(x)=0, es decir -x²+x = 0 . Las soluciones son x=0 y x=1. Por tanto la función pasa por los puntos (0,0) y (1,0). El primero ya lo sabíamos.
Coordenadas del vértice: para la primera coordenada calculamos . Para la segunda coordenada hacemos f(1/2)= -(1/2)² + (1/2) = -1/4 + 1/2 = 1/4 . Luego el vértice es .
Con los datos anteriores podemos ya representar la gráfica de la función:

Función cuadrática
No olvidemos calcular el dominio y el recorrido: ,

Caso práctico

Representa la función .

Retroalimentación

En primer lugar, tenemos que determinar qué tipo de función es la que nos piden representar. Si operamos nos .
Es una función cuadrática, su gráfica es una parábola. Hagamos el estudio previo a su representación.
Como el coeficiente que multiplica al término en es negativo, las ramas parabólicas van hacia abajo y, por tanto, el vértice será el punto máximo de la parábola.
Corte con el eje OY: hallamos , por tanto la parábola pasa por el punto , origen de coordenadas.
Corte con el eje OX: resolvemos la ecuación , es decir . Las soluciones son y . Por tanto la función pasa por los puntos y . El primero ya lo sabíamos.
Coordenadas del vértice: para la primera coordenada calculamos . Para la segunda coordenada hacemos . Luego el vértice es .
Con los datos anteriores podemos ya representar la gráfica de la función:

Función cuadrática

No olvidemos calcular el dominio y el recorrido: ,

Para saber más

Aplicaciones de las funciones cuadráticas

Pinchando en la siguiente imagen puedes acceder a Proyecto Descartes y descubrir tres aplicaciones de las funciones cuadráticas:

Para saber más

Otras funciones polinómicas

Una función de la forma f(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+...+a₂x²+a₁x+a₀ donde n es un número natural, a₀, a₁, ... , a_n son números reales y a_n es distinto de cero, se llama función polinómica de grado n.

Sus características básicas son:

El dominio de cualquier función polinómica es todo el conjunto de los números reales.
El recorrido de una función polinómica de grado impar es todo el conjunto de los números reales.
Siempre se pueden dibujar de un sólo trazo.
Como máximo, cortan al eje OX en n puntos.
Tienen, a lo sumo, n-1 máximos o mínimos relativos.
Como máximo, tienen n-2 puntos de inflexión.

Presentación en Slideshare por saulvalper