1.2 Funciones afines

Ejemplo:

Volviendo a la recta de meta del circuito de Bahrein en Shakir, ahora nos interesa saber los metros que lleva recorrido desde el comienzo de la recta. El tramo en el que mantiene la velocidad constante de 80 metros por segundo está a 50 metros del inicio de dicha recta. Por tanto, la tabla y la gráfica de esta nueva función quedarían:

Como puedes observar, la tabla es parecida a la anterior, lo que ocurre es que se le ha sumado 50 a los metros recorridos en cada segundo. La gráfica continúa siendo una recta, pero 50 metros más alta que la gráfica anterior. ¿Cómo quedaría la expresión analítica?
La fórmula sería . Como puedes ver, esos 50 metros iniciales de la recta hay que tenerlos en cuenta en cualquiera de las formas de expresar esta nueva función.
A una función con una expresión del tipo anterior, que tiene por gráfica una recta que no pasa por el origen de coordenadas, se le llama función afín.

Importante

A las funciones cuya expresión algebraica es de la forma , con y números reales, se les denomina funciones afines.
Al número se le llama pendiente de la recta (gráfica de la función), en tanto que a se le denomina ordenada en el origen.

En el siguiente vídeo puedes ver cómo obtener la pendiente y la ordenada en el origen dada la ecuación de la recta:

Vídeo de lasmatematicas.es alojado en Youtube

Caso práctico

Una persona tiene contratada una tarifa para su móvil particular. Le cobran 15 céntimos por el establecimiento de llamada y 6 céntimos por minutos, aunque facturan por segundos, es decir, si hablas medio minuto pagas 3 céntimos.
¿Cuál es la función que da el precio a pagar según el tiempo hablado? ¿Podemos ver una gráfica de esta situación?

Retroalimentación

Comenzamos con algunos casos concretos:

Si dicha persona habla 1 minuto, paga los 15 céntimos del establecimiento más los 6 céntimos del minuto, o sea, pagaremos 21 céntimos.
Si habla 5 minutos, paga 15 + 5·6 céntimos, por tanto, 45 céntimos.
10 minutos, 15 + 10·6; 75 céntimos.
15 minutos, 15 + 15·6; 105 céntimos.
20 minutos, 15 + 20·6; 135 céntimos.
30 minutos, 15 + 30·6; 195 céntimos.

Vamos a buscar la expresión general. Puesto que lo que depende, es el precio a pagar según el tiempo hablado, llamaremos x al tiempo hablado e y al precio a pagar. Así, la relación sería:
y = 15 + 6·x
Vamos, ahora a representar la situación. Si representamos los puntos anteriores en unos ejes, nos debe salir algo así:

Puntos sobre los ejes representando el precio y el tiempo hablado

Como podemos observar, los puntos también forman una recta.

Caso práctico

Otra oferta de la compañía telefónica es la tarifa plana de voz por 35 €/mes, incluyendo todas las llamadas a fijos y móviles de cualquier compañía.
¿Cómo sería ahora la función?

Importante

Las funciones que gráficamente se representan mediante una recta son:

La función afín: y = mx + n, con m y n números reales.
La función lineal o de proporcionalidad: y = mx, con m un número real, que pasa por el origen de coordenadas.
La función constante: y = n, con n un número real, que es una recta horizontal.

Por ejemplo:

y=2x sería una función de proporcionalidad.
y = 3x - 4 sería una función afín.
y = 8 sería constante.

Como puedes ver, las funciones lineales y constante, son casos particulares de la función afín.
En la función lineal, n = 0 y en la constante, m = 0.

Las funciones lineales y afines, también se llaman funciones polinómicas de grado 1, pues aparece la variable dependiente "y", igualada a una expresión algebraica con x que es un polinomio de grado 1.