2.2. Ecuaciones exponenciales

Las ecuaciones exponenciales suelen surgir en áreas de la ciencia relacionadas con la ecología y el medio ambiente, áreas nos ayudan a entender mejor el mundo en el que nos movemos.


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Importante

Las ecuaciones exponenciales son aquellas en las que la incógnita aparece en el exponente.

Para resolverlas se pueden aplicar tanto las propiedades de las potencias (que nos van a permitir llegar a una ecuación de la forma a^x = b) como un procedimiento llamado cambio de variable (que nos va permitir transformar la ecuación exponencial en otra polinómica).

La ecuación obtenida se puede resolver, bien directamente (si b se puede expresar como una potencia de base a, igualando los exponentes), bien tomando logaritmos.

Veamos algunos ejemplos de ecuaciones exponenciales:

El tipo más sencillo es de la forma a^x = b donde a y b se pueden poner como potencias con la misma base. Por ejemplo:

No tan evidente resulta cuando, en la ecuación a^x = b, a y b no pueden ser expresadas como potencias de la misma base. En este caso, aplicamos la definición de logaritmo tal y como puede observarse en el siguiente ejemplo:

Aplicando la definición de logaritmo, obtendríamos

$x=\log_3 25$

Si la expresión exponencial va acompañada de un factor de la forma c·a^x = b, despejamos a^x = b/c y resolvemos la ecuación resultante que, evidentemente, responderá a alguno de los casos anteriores. Por ejemplo:

$5\cdot{4^x}=80 \ \Rightarrow \ 4^x=\frac{80}{5} \ \Rightarrow \ 4^x=16 \ \Rightarrow \ 4^x=4^2 \ \Rightarrow \ x=2$

Veamos, finalmente, un ejemplo de una ecuación un poco más compleja:

$(2^{x+5})^x=\frac{1}{2^6} \ \Rightarrow \ 2^{(x+5)\cdot x}=2^{-6} \ \Rightarrow 2^{x^2+5x}=2^{-6} \ \Rightarrow \ x^2+5x=-6 \ \Rightarrow \ x^2+5x+6=0 \ \Rightarrow \ x_1=-2; \ x_2=-3$

Ejercicio Resuelto

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) $4\cdot{3^{7x-12}}=36$

b) $(\frac{4}{5})^{3x-9}=(\frac{5}{4})^{2x-1}$

Cuando en la ecuación aparecen sumando (o restando) varios términos exponenciales de la misma base tenemos que recurrir a utilizar un cambio de variable. Para ver más claro este tipo de ecuación resolvamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1

$3^{x+2}+5\cdot{3^{x+1}}=9\cdot{3^{x-1}}+7$

En primer lugar, trabajamos con las propiedades de las potencias. De esta forma, la única expresión exponencial que aparecerá será 3^x :

$3^x\cdot{3^2}+5\cdot{3^x\cdot{3}}=9\cdot{\frac{3^x}{3^1}}+7 \ \Rightarrow \ 9\cdot{3^x}+15\cdot{3^x}=3\cdot{3^x}+7$

Para que resulte más sencillo trabajar con la anterior expresión realizamos el cambio de variable t = 3^x. De esta forma, la ecuación anterior se transforma en la siguiente:

9t+15t=3t+7

que no es más que una ecuación polinómica de primer grado muy sencilla de resolver:

$21t=7 \ \Rightarrow \ t=\frac{7}{21} \ \Rightarrow \ t=\frac{1}{3} \ \Rightarrow \ t=3^{-1}$

Una vez resuelta, deshacemos el cambio de variable y calculamos el valor de x:

$3^x=3^{-1} \ \Rightarrow \ x=-1$

Ejemplo 2

$25^x+5=30\cdot{5^{x-1}}$

Trabajamos igual que con la ecuación anterior, aunque en este caso hay que tener en cuenta que las potencias no tienen la misma base. En este caso, dado que deben tener la misma base, hemos de tener en cuenta que 25 = 5². De esta forma, podremos expresar todas las potencias con base 5:

$(5^2)^x+5=30\cdot{\frac{5^x}{5}}\Rightarrow{(5^x)^2+5=6\cdot{5^x}}$