3. Extremos

Estamos acostumbrados a oír hablar de temperaturas máximas y mínimas todos los días en las noticias. De hecho, es una frase muy habitual la de "se ha alcanzado una máxima de 40º de temperatura". En la siguiente gráfica, de la AEMET, en la que podemos ver la temperatura que ha hecho en Málaga desde las 19h del 13 de abril a las 18h del día siguiente. Puedes comprobar que:

• La temperatura máxima se alcanza a las 14h del 14 de abril (25,6ºC)
• La temperatura mínima se alcanza a las 6h y a las 8h del 14 de abril (13ºC)
• A las 7h del 14 de abril hay un máximo relativo, pues es la temperatura más alta en un pequeño periodo de tiempo (de las 6 a las 8h).

Para poder averiguar la temperatura máxima o mínima necesitamos una tabla de datos observados o una gráfica como la anterior, pues la temperatura local no la podemos expresar con una función derivable.

Veamos por tanto qué ocurre en la siguiente función, y comparemos con su derivada:

A la izquierda tenemos una función f(x) y a la derecha su derivada f '(x).

• Mínimo: si te fijas en los dos mínimos, a su izquierda la función es decreciente y a la derecha es creciente ¿qué quiere decir eso para la derivada? Como vimos en el apartado anterior, equivale a que a la izquierda la derivada es negativa y a la derecha positiva (como puedes ver en la gráfica de la derivada). Pues si en ese punto la derivada pasa de negativa a positiva, quiere decir que debe ser nula.

• Máximo: en el máximo pasa algo parecido, pero en este caso pasamos de función creciente a decreciente, es decir, de derivada positiva a negativa. Al igual que antes, en ese punto la derivada debe ser nula.

Para que veas cómo podemos hallar máximos y mínimos con la derivada, mira el siguiente ejercicio resuelto.