3.1. La derivada. Interpretación

Importante

Se define Tasa de variación instantánea en el punto x=a (TVIa) como:

En realidad y para simplificar a TVIa se le llama derivada de la función f(x) en el punto x=a y se denota por f´(a). La expresión mas conocida es:

 

Caso práctico

Calcula la tasa de variación instantánea de la función f(x)=x2 en x=2

Si la TVM era la pendiente de la recta secante (que pasa por los dos puntos (a, f(a)) y (a+h, f(a+h))).

Al hacer que h tienda a 0, los puntos tienden a coincidir. La recta que era secante a la función en los puntos, es ahora tangente a la función en un punto. Para comprobarlo mueve el deslizador "h" en la siguiente escena de Geogebra.

Recurso de Alberto en Geogebra. Licencia CC

Importante

Si tenemos una función llamamos derivada de la función en un punto a la tasa de variación instantánea de la función en el punto y se denota . Así, según la definición tenemos que:

Geométricamente, la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto.

Recuerda que para que exista este límite, por tanto la derivada en dicho punto, deben existir los límites laterales y coincidir.
Así, de la misma forma, podemos definir las derivadas laterales como:

- Derivada por la derecha:

- Derivada por la izquierda:

Caso práctico

Calculemos de forma intuitiva la derivada de la función f(x)=x2 en el punto a=1. Para ello vamos a utilizar la definicion de TVM Construimos la siguientes tablas:

Intervalo [a,a+h] [1;1,1] [1;1,01] [1;1,001] [1;1,0001] [1;1,00001] ... [1,1]
TVM 2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001 ... 2

Intervalo [a,a+h] [0,99;1] [0,999;1] [0,9999;1] [0,99999;1] ... [1,1]
TVM 1,9 1,99 1,999 1,9999 ... 2

En la primera tabla nos acercamos al punto por la derecha y el resultado es 2.
En la segunda nos acercamos al punto por valores menores (izquierda) y el resultado el 2.

Por tanto, decimos que la derivada de la función f(x) = x2, en x=1 es 2, o escrito de forma más elegante, f '(1) = 2.

 

Caso práctico

Halla la pendiente de la recta tangente a la gráfica de

en el punto de abscisa x=-2.

Comprueba lo aprendido

Responde verdad o falso

Pregunta 1

1) La derivada es el límite de la Tasa de variación.

Pregunta 2

2) La gráfica de las subidas y bajadas de la bolsa es continua.

Pregunta 3

3) La función recorrido de un ciclista en una etapa en función del tiempo es discontinua.

Pregunta 4

4) Una función derivable en un punto es continua en ese punto.

Sugerencia

Teorema fundamental del cálculo infinitesimal: toda función derivable en un punto es continua en ese punto.

Para saber más

En el siguiente vídeo de la serie Universo Mecánico puedes ver los aspectos históricos que llevaron a la creación de la derivada y algunas de sus aplicaciones en la vida cotidiana. Aparecen también las reglas sobre como calcular derivadas de distintas funciones, algo que veremos en el próximo tema. 

Vídeo de Airel Núñez R. alojado en Youtube