4. Especial selectividad

Retroalimentación

Para calcular la ecuación de un plano necesitamos un punto y dos vectores directores. El punto está claro, el origen de coordenadas. También tenemos dos vectores directores, los vectores directores de cada una de las rectas ya que son paralelas al plano.

El vector director de la segunda recta es

Para calcular un vector director de la primera recta, vamos a obtener dos puntos:

Si hacemos obtenemos el puntos .

Si hacemos obtenemos el punto

Así, el otro vector director puede ser

Luego la ecuación implícita del plano que nos piden es:

 Desarrollando el anterior determinante encontramos la ecuación implícita del plano:

Retroalimentación

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a) Aunque podríamos estudiar el sistema formado por las cuatro ecuaciones, lo mejor es pasar las rectas a paramétricas y resolver el sistema tal como hemos visto en los contenidos anteriores.

Para la recta r despejamos y, z en función de x. , por tanto, .

En s basta despejar z en función de y. y nos queda .

Igualamos las variables y obtenemos el sistema: , de las dos primeras ecuaciones obtenemos los valores t=1 y s=3 que al sustituir en la tercera ecuación comprobamos que no la cumple, ya que, . Luego el sistema no tiene solución, y como los vectores de dirección no son proporcionales, las dos rectas se cruzan en el espacio.

b) Para el segundo apartado tomamos un punto y el vector dirección de s y el vector dirección de r y tenemos lo necesario para hallar el plano. y .

Planteamos el determinante y al desarrollar obtenemos la ecuación del plano pedido: .

Retroalimentación

Convertimos las dos rectas a su ecuación paramétrica e igualamos los valores de x, y, z.

reordenamos el sistema .

Esta claro que los vectores de dirección no son proporcionales, por lo que las rectas tienen distintas dirección. Para que se corten en un punto es necesario que rango(M_c)=rango(M_a)=2, luego el determinante de la matriz ampliada debe ser nulo.

Imponiendo esa condición desarrollamos y queda que es el valor de k pedido.

b) Tomamos un punto cualquiera de r ó s y los dos vectores dirección y construimos el plano igual que hicimos en el apartado b) del ejecicio anterior.

y queda el plano:

Retroalimentación

Escribimos la recta en forma paramétrica y la sustituimos en el plano llegando a una sola ecuación en t.

sustituimos en la segunda ecuación y despejamos la y por lo tanto tenemos . Sustituimos en el plano y operamos.

Multiplicamos todo por 3, para quitar denominadores y quitamos paréntesis y entonces nos queda

Veamos cuando vale cero el coeficiente de t, es decir, el paréntesis de la ecuación.

Hay por tanto dos valores m=2 y m=-1 que hacen cero el paréntesis. Veamos entonces los casos que nos piden.

a) Para m=2 la ecuación en t quedaría 0·t=-9. Esa ecuación no tiene solución, por lo que la recta es paralela al plano.

b) Si m=-1 la ecuación queda 0·t=0 que se verifica para todo valor de t. La recta está contenida en el plano.

c) Para valores de m distintos de 2 y -1, la ecuación tiene solución única y por tanto la recta y el plano se cortan. Por ejemplo para m=0 la ecuación queda -2t=1 despejando la t obtenemos: y en este caso la recta y el plano se cortan en el punto de coordenadas:

Retroalimentación

a) Sustituimos en el plano y operamos

Por tanto si se anula el paréntesis y el sistema no tiene solución por lo que la recta es paralela al plano.

Si podemos despejar t y hay una única solución. La recta corta al plano.

b) Para m=-3 la recta es (x,y,z)=(5,0,6)+t·(-2,1,-3). Si queremos hallar un plano que la contenga ya tenemos un punto que es el propio (5,0,6) que se obtiene al hacer t=0 y un vector dirección que és el: (-2,1,-3). Si ademas queremos que sea perpendicular al plano, entonces el vector normal al plano (2,1,-1) también es director del plano buscado. Luego basta desarrollar y nos queda .

c) Este apartado hay diversas formas de resolverlo. Veamos una. Si queremos un plano que contenga a la recta, queremos uno de los planos que pertenecen al haz de planos que pasan por esa recta. Vamos a hallarlo. Para ello debemos expresar la recta como intersección de dos plano.

El haz de planos sería:

Si queremos que sea paralelo al dado el vector normal de éste, y el del haz, deben ser proporcionales.

por lo que el plano es o bien .

Otra forma de hacerlo hubiese sido coger un plano paralelo al dado, que sería 2x+y-z+D=0 y calcular D eligiendo cualquier punto de la recta y sustituyéndolo en esa expresión.