2.2. Ecuación implícita del plano
Importante
Dado un punto 
y dos vectores 
y 
si tenemos el plano 
, plano que pasa por el punto 
y cuyos vectores directores son 
y 
, si 
es un punto del plano, entonces los vectores 
, y son vectores linealmente dependientes, es decir, el determinante formado por ellos tres es cero.
Luego
Desarrollando el determinante por menores de la primera fila:
si llamamos 
, 
y 
La ecuación nos quedaría: 
si desarrollamos tenemos que 
, pero 
es un número,
luego nos queda
Esta es la ecuación implícita del plano. Es la forma de ecuación del plano más utilizada, por eso a veces se le llama ecuación general del plano.
Además, se cumple que el vector 
es un vector perpendicular al plano que se denomina vector normal del plano.
En el siguiente video se muestra como se obtiene la ecuación implícita o general del plano a partir de tres puntos.
En este otro se muestra como hallar el vector director y el normal de un plano.
Ejemplo o ejercicio resuelto
y tiene como vectores directores 
y 
Ejemplo o ejercicio resuelto
, 
y 
.
Ejemplo o ejercicio resuelto
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| Industria siderúrgica Imagen del ITE. |
En una empresa siderúrgica pretenden trasladar una plancha muy pesada. El diseñador encargado del trasporte ha dibujado la plancha en un plano cuya ecuación implícita es: 
y uno delos puntos que va a sujetar la plancha se encuentra en el punto 
.
El otro punto que debe sujetar la plancha se debe situar en el punto simétrico a respecto al plano . Calcula las coordenadas de ese punto.
Ejemplo o ejercicio resuelto
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Huesos de cráneo. Mariano Real
Vídeo alojado en Youtube
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En un hospital especializado en operaciones cerebrales han realizado un corte trasversal del cráneo de un paciente en el que han identificado 3 nódulos peligrosos situados en los puntos: 
, 
y 
En la operación, el equipo médico debe colocar un emisor eléctrico en otro punto del que conocen que sus dos primeras coordenadas son -1 y -1, pero además, este punto debe estar en el mismo plano en el que se encuentran los puntos 
, 
y 
. Calcula las coordenadas exactas en las que deben colocar el emisor eléctrico.
Importante
Como ya conoces, una de las ecuaciones que determina una recta es la ecuación implícita que tiene la siguiente forma:
En realidad, la primera ecuación corresponde a un plano
y la segunda a otro plano 
por lo que la recta viene determinada por los puntos que cumplen las dos ecuaciones a la vez, es decir, los puntos que están en los dos planos o, lo que es lo mismo, los puntos de corte de los dos planos.