2.1. Ecuación vectorial y paramétrica del plano

Formas del plano. Mariano Real
Vídeo alojado en Youtube

Importante

Para obtener la ecuación de una recta, que tiene dimensión 1, ya has visto que necesitábamos de un punto y un vector director. Ahora, para obtener la ecuación de un plano, vamos a necesitar de un punto y dos vectores directores y , que deben ser linealmente independientes, y los puntos del plano serán aquellos que se obtengan de sumarle al punto una combinación lineal de los dos vectores directores. Así, la ecuación vectorial del plano es:

 

Desarrollándola:

Ejemplo o ejercicio resuelto

Torre Eiffel
Imagen del ITE.

 

Un diseñador quiere hacer un corte transversal de la torre Eiffel para hacer un cartel con una vista innovadora de esa torre.

 

Para ello quiere que el corte pase por los puntos , y . Calcula la ecuación vectorial del plano de corte.

 

AV - Pregunta Verdadero-Falso

Dado el plano de ecuación

Pregunta 1

P=(3,-4,5) es un punto del plano.

Sugerencia

Pregunta 2

Q=(4,-4,6) es un punto del plano.

Sugerencia

Pregunta 3

H=(2,-3,-5) es un punto del plano.

Sugerencia

Pregunta 4

=(1,0,1) es un vector director del plano.

Sugerencia

Importante

Dado un punto y dos vectores y sabemos que la ecución vectorial del plano que pasa por el punto y tiene esos dos vectores directores es 

 

Igualando coordenada a coordenada tenemos que: 

 

A esta ecuación se le llama ecuación paramétrica del plano. En la siguiente imagen interactiva puedes ver como se obtienen los puntos del plano a través de uno de sus puntos y la combinación lineal de sus vectores directores.

Ejemplo o ejercicio resuelto

Calcula la ecuación paramétrica del plano que pasa por el punto y tienen por vectores directores los vectores y . Calcula otro punto del plano

Ejemplo o ejercicio resuelto

Dado el plano Calcula la ecuación paramétrica del plano paralelo al anterior y que pase por el punto .