1.4. Posiciones relativas de rectas en el espacio

En el espacio, después de los puntos, los elementos más simples que existen son las rectas. Así que vamos a empezar por estudiar la situación en que pueden estar.

Importante

Dos rectas en el espacio pueden tener cuatro posiciones relativas:

Si tienen distinta dirección la rectas pueden:
- Cruzarse en el espacio: cuando no tienen ningún punto en común.
- Cortarse: si tienen un único punto común,
Si tienen la misma dirección entonces las rectas pueden ser:

Paralelas: cuando no tienen punto en común.
Coincidentes: cuando todos los puntos de una pertenecen a la otra.

En la siguiente escena puedes ver lo que ocurre cuando dos rectas (de color rojo una y negro la otra) son paralelas, en las ecuaciones vectoriales de las rectas que aparecen en la parte superior izquierda podrás apreciar como sus vectores directores son iguales, si bien los vectores de posición son diferentes. Si pruebas a mover un punto para unirlo con otro, reduciendo los cuatro puntos azules iniciales a tres verás la situación que se da cuando dos rectas se cruzan. Si unes dos de ellos harás que las dos rectas se corten. Por último si unes los cuatro puntos en uno solo en el origen de coordenadas harás que las dos rectas coincidan.

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Ejemplos de las cuatro posiciones podemos encontrarlos con facilidad en nuestro entorno cotidiano. Imaginemos que vamos circulando por una carretera; si de pronto nos encontramos con otra carretera con la que hay un cruce, con los correspondientes Stop o Ceda el paso, nos encontramos con dos rectas que se cortan. Precisamente el punto de corte es el cruce. Si por el contrario la carretera cruza a distinto nivel, como pasa por ejemplo en las autovías, tenemos dos rectas que se cruzan.

Si circulamos por una autovía, nosotros marchamos por un carril y los que van en dirección contraria por otro paralelo, estaríamos en el caso de rectas paralelas. Mientras que si circulamos por una carretera comarcal, los dos sentidos circulan por la misma carretera, estaríamos en el caso de dos líneas coincidentes.

Vamos a continuación a estudiar cómo se halla la posición relativa de dos rectas. Consideraremos una recta r que pasa por el punto P y tiene de vector dirección y otra s que pasando por Q tiene de dirección . En las siguientes imágenes tienes dos métodos distintos de hallar la posición.

Imágenes de elaboración propia

Ejemplo o ejercicio resuelto

Estudia las posiciones relativas de los siguientes pares de rectas. Si alguna de ellas se cortan en un punto, halla dicho punto.

a) y

b) y

Retroalimentación

Vamos a resolver cada uno de los apartados por uno de los métodos.

a) Tenemos la recta r que pasa por P(1,-2,0) y tiene de vector dirección y la recta r' pasando por Q(-1,1,-1) y con dirección . Lo primero es ver si sus vectores dirección son proporcionales, para ello los dividimos término a término.

Como se verifica que son iguales las tres fracciones las dos rectas tienen la misma dirección. Basta ver si uno de los puntos de una de las rectas pertenece a la otra.

Tomamos el punto P y probamos si cumple la ecuación de la recta r'.

Como no se cumplen las dos igualdades, , el punto no pertenece a la recta y por tanto las rectas son paralelas.

b) Ahora escribimos las dos rectas en paramétricas (recuerda utilizar siempre distintos parámetros)

y e igualamos las variables

reordamos el sistema y estudiamos los rangos de .

A simple vista vemos que las dos primeras columnas no son proporcionales, luego el rango(M_c)=2. Las dos rectas tienen distinta dirección. Estudiamos el determinante de la matriz ampliada para ver el rango de la matriz ampliada. Luego rango(M_a)=2.

El sistema es Compatible Determinado, tiene una única solución que es el punto donde se cortan las dos rectas. Para hallarlo resolvemos el sistema. Podemos elegir la primera y tercera filas (la segunda y la tercera son proporcionales) y tenemos el sistema sumamos las ecuaciones y obtenemos , luego , basta sustituir ese valor en la recta r y obtenemos el punto de corte: .

Como podemos observar, el primer método es más directo para hallar la posición relativa, pero si las rectas se cortan, debemos plantear el sistema como en el segundo método para hallar el punto de corte, por lo que así ya aprovechamos los cálculos.

AV - Reflexión

Estudia la posición relativa de las siguientes pares de rectas.

a) y

b) y

Para saber más

Si tomamos un punto cualquiera del espacio y consideramos todas las rectas que pasan por ese punto, al conjunto de rectas que se forman se le llama Radiación de Rectas.

Si tenemos el punto , que sería el vértice de esa radiación, la ecuación de este lugar geométrico sería:

Para cada valor que le demos a la terna (a,b,c) obtendremos una recta distinta perteneciente a la radiación.