7. Logaritmos

1. Definición de logaritmo

En el punto 5 de esta Situación de aprendizaje hemos estudiado las potencias y hemos visto que $2^5=32$. El número al que debemos elevar 2 para obtener 32 es 5. Decimos que 5 es el logaritmo en base 2 de 32. Definimos el logaritmo de la siguiente forma:

\[\boxed{\bf log_{a}x=y \Leftrightarrow a^y=x}\]

Por tanto, $\text{log}_{\text{a}}\text{x}$ es el número al que tenemos que elevar a para obtener x. Por ejemplo, $log_{3}{9}=2$ porque $3^2=9$. Si la base del logaritmo es 10 no la escribiremos. Así podemos escribir $log(1000)=3$ porque $10^3=1000$. Si la base es el número e lo llamaremos logaritmo neperiano y escribiremos ln, así $ln{e^3}=3$ porque 3 es el número al que tenemos que elevar e para obtener $e^3$.

Recuerda que en el punto 5 de las potencias vimos que $\dfrac{1}{a^n}=a^{-n}$ y que $\sqrt[n]{a^m}=a^{\large{\frac{m}{n}}}$. Esto lo podemos utilizar para calcular algunos logaritmos. Veamos algunos ejemplos:

$log(0.01)=-2$ porque $10^{-2}=\dfrac{1}{10^2}=\dfrac{1}{100}=0.01$

$ln\left(\sqrt{e^3}\right)=\dfrac{3}{2}$ porque $e^{\large\frac{3}{2}}=\sqrt{e^3}$

$log_{2}\left({\large\frac{1}{\sqrt[5]{2^3}}}\right)=\dfrac{-3}{5}$ porque $2^{\Large{\frac{-3}{5}}}=\dfrac{1}{2^{\Large{\frac{3}{5}}}}=\dfrac{1}{\sqrt[5]{2^3}}$

Practica calculando los siguientes logaritmos:

$log_{2}{32}$
$log(1000000)$
$ln\left({e^{-5}}\right)$
$ln{\sqrt{e}}$
$log_{3}{\dfrac{1}{81}}$
$log_{7}{\dfrac{1}{\sqrt[3]{49}}}$

Para calcular le logaritmo intentaremos escribir 32 como potencia de 2. Si $log_{2}{32}=x$ entonces $2^x=32=2^5$, por tanto $x=5$ y $log_{2}{32}=5$
Si $log(1000000)=x$ entonces $10^x=1000000=10^6$, por tanto $log(1000000)=6$
Si $ln\left({e^{-5}}\right)=x$ entonces $e^x=e^{-5}$, por tanto $ln\left({e^{-5}}\right)=-5$
Si $ln{\sqrt{e}}=x$ entonces $e^x=\sqrt{e}=e^{{\large{\frac{1}{2}}}}$, luego $ln{\sqrt{e}}=\dfrac{1}{2}$
Si $log_{3}{\dfrac{1}{81}}=x$ entonces $3^x={\dfrac{1}{81}}={\dfrac{1}{3^4}}=3^{-4}$, luego $log_{3}{\dfrac{1}{81}}=-4$
Si $log_{7}{\dfrac{1}{\sqrt[3]{49}}}=x$ entonces $7^x=\dfrac{1}{\sqrt[3]{49}}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{7^2}}=\dfrac{1}{7^\frac{2}{3}}=7^{-{\large{\frac{2}{3}}}}$, luego $log_{7}{\dfrac{1}{\sqrt[3]{49}}}=-\dfrac{2}{3}$

2. Importante

$log_{a}{1}=0$ para cualquier valor de $a$ porque $a^0=1$,
No existe $log_{a}{0}$ porque $a^x$ siempre es mayor que 0,
Por el mismo motivo que el anterior, tampoco existe el logaritmo de números negativos.
Aunque no existe el logaritmo de 0 ni de números negativos, el logaritmo sí que puede ser un número negativo. De hecho, si la base es mayor que 1, el logaritmo de números menores que 1 será negativo. Por ejemplo, $log_{2}{0.5}=-1$
El logaritmo decimal, es decir en base 10, lo escribimos log. Por ejemplo $log10=2$
El logaritmo en base e lo escribimos ln y leemos logaritmo neperiano. Por ejemplo $ln e=1$

3. Ejemplos

En el siguiente vídeo te explican como calcular logaritmos:

Antonio Ruiz Murcia. Logaritmos:definición (CC BY)

4. Los logaritmos en la vida real

Los logaritmos aparecen con frecuencia en la vida real. Algunos casos en los que suelen aparecer son aquellos en que queremos comparar cantidades muy grandes con otras muy pequeñas. En estos casos se utilizan escalas logarítmicas. Esto ocurre por ejemplo cuando se mide la intensidad de los terremotos y utilizamos la escala Richter, que es una escala logarítmica, o cuando medimos la intensidad del sonido, que utilizamos los decibelios, que también es una escala logarítmica, o cuando medimos la acidez mediante el pH, también utilizamos una escala logarítmica y en otros muchos casos. Puedes estudiar más casos donde se utilizan estas escalas buscando en internet.

En el reto tendrás que construir tu propia escala logarítmica para comparar la riqueza de distintas personas, que como bien sabemos es muy diferente de unas personas a otras.

En el siguiente vídeo del canal Derivando te explican la utilidad de las escalas logarítmicas de forma amena:

Video de Derivando. ¿Para qué sirven los logaritmos? (Licencia estándar de YouTube)

5. Caso práctico

Un caso en el que se utilizan las escalas logarítmicas es en acústica para medir la intensidad del sonido. Se define el nivel de potencia de una fuente sonora como $L=10·log\left(\dfrac{w_1}{w_0}\right)$ donde $w_1$ es la potencia en watios que queremos estudiar y $w_0$ es la potencia sonora del umbral de audición $^1$ que es $10^{-12}$ watios.

Imagen de elaboración propia con Leonardo.ai. *Ruido intenso* (CC BY-NC-SA)

Observa que el nivel de potencia es una escala logarítmica de la potencia relativa de $w_1$ sobre$w_0$, es decir, es una escala para comparar la potencia de los sonidos con la del umbral de audición. Así, el nivel de potencia del umbral de audición es $L_0=10·log\left(\dfrac{w_0}{w_0}\right)=10·log1=0$. El nivel de potencia de una fuente sonora que tenga 100 veces más potencia que el umbral sonoro ($w_{1}=100w_{0}$) será de $L=10·log\left(\dfrac{100w_0}{w_0}\right)=10·log(100)=10·2=20$

El nivel de potencia se mide en decibelios (dB) que es la décima parte del belio (B). Así, el nivel de potencia del umbral sonoro es de 0 dB. En el ejemplo que hemos calculado antes, una fuente sonora de 20 dB hemos visto que tiene 100 veces más potencia que el umbral sonoro, una de 30 tendrá 100 veces, una de 40 tendrá 10000 veces más y así sucesivamente.

En la siguiente tabla tienes ejemplos de nivel sonoro medidos en dB:

200 dB	Bomba atómica de Hirosima
180 dB	Explosión de un volcan
140 dB	Coche de Fórmula 1
130 dB	Avión despegando
110 dB	Concierto
90 dB	Tráfico
60 dB	Aglomeración de gente
20 dB	Biblioteca
10 dB	Respiración tranquila
0 dB	Umbral de sonido

Te proponemos las siguientes actividades para que te familiarices con la escala logarítmica:

¿Cuál es el nivel de potencia de una fuente sonora que tenga 10000 veces más potencia que el umbral sonoro?
¿Cuál es el nivel de potencia de una fuente sonora que tenga $10^{-4}$ vatios de potencia?
¿Cuál es la potencia del sonido de un coche de Fórmula 1?¿Cuántas veces es mayor que la del umbral de sonido?
¿Cuál es la potencia del sonido de una aglomeración de gente?¿Cuántas veces es mayor la potencia de un coche de Formula 1 que la de la aglomeración de gente?

Empleamos la fórmula y obtenemos $L=10·log\left({\dfrac{10000w_0}{w_0}}\right)=10·log(10000)=10·4=40$ dB.
En este caso $L=10·log\left({\dfrac{10^{-4}}{w_0}}\right)$, pero como $w_0=10^{-12}$ vatios tendremos que $L=10log{\Large\frac{10^{-4}}{10^{-12}}}$$=10log{10^{-4-(-12)}}=10log10^{8}=10·8=80$ dB.
El nivel de potencia de un Fórmula 1 es de $180$ dB, así que $180=10log\left(\dfrac{w}{10^{-12}}\right)$ si despejamos obtenemos que $log\left(\dfrac{w}{10^{-12}}\right)=\dfrac{180}{10}=18$. Aplicamos la definición de logaritmo y $\dfrac{w}{10^{-12}}=10^{18}$, por tanto $w=10^{18}10^{-12}=10^6$ vatios. Para saber cuántas veces es mayor dividimos $\dfrac{10^6}{10^{-12}}=10^{18}$ veces mayor.
El nivel de potencia de una fuente sonora procedente de una aglomeración de gente es de $90$ dB, así que $90=10·log\left(\dfrac{w}{10^{-12}}\right)$ si despejamos obtenemos que $log\left(\dfrac{w}{10^{-12}}\right)=\dfrac{90}{10}=9$. Aplicamos la definición de logaritmo y $\dfrac{w}{10^{-12}}=10^{9}$, por tanto $w=10^{9}10^{-12}=10^{-3}$ vatios. Para saber cuántas veces es mayor la potencia del sonido del Fórmula 1 que la de la aglomeración de gente sólo tenemos que dividir sus potencias y obtenemos: $\dfrac{10^6}{10^{-3}}=10^9=1000000000$ veces mayor.

6. Propiedades

Veamos las propiedades de los logaritmos:

$\bf log_{a}{x·y}=log_{a}x+log_{a}y$. Por ejemplo, $log_{3}{27}=log_{3}9+log_{3}3$
$\bf log_{a}{\Large\frac{x}{y}}=log_{a}x-log_{a}y$. Por ejemplo $log_{5}{\Large\frac{5}{25}}=log_{5}5-log_{5}{25}$.
$\bf log_{a}{x^n}=nlog_{a}x$. Por ejemplo, $log_{3}{3^7}=7log_{3}3$
$\bf log_{a}{x}=\Large\frac{log_{b}{x}}{log_{b}{a}}$. Por ejemplo, $log_{3}{10}=\Large\frac{log{10}}{log{3}}$

Observa que esta última propiedad nos permite poner cualquier logaritmo como cociente de logaritmos decimales o de logaritmos neperianos.

Practica con las propiedades y calcula:

$log_{4}{8}+log_{4}{2}$
$log_{5}{50}-log_{5}{2}$.
Si sabemos que $logx$=0.7 calcula $log(100x)$
Si sabemos que $log_{2}k$=1.3, calcula $log_{2}{\Large\frac{k^2}{2}}$

Mostrar solución

$log_{4}{8}+log_{4}{2}=log_{4}{(8·2)}=log_{4}{16}=2$
$log_{5}{50}-log_{5}{2}=log_{5}{\Large\frac{50}{2}}$=$log_{5}{25}=2$.
$log(100x)=log100+logx$=2+0.7=2.7
$log_{2}{\Large\frac{k^2}{2}}$$=log_{2}{k^2}-log_{2}{2}=2log_{2}{k}-log_{2}{2}=2·1.3-1=1.6$

7. Logaritmos con la calculadora

Hemos visto que hay logaritmos que podemos calcular aplicando la definición y las propiedades de los logaritmos. Pero en ocasiones no es suficiente. Si queremos calcular $log_{3}{5}$, sabemos que es mayor que 1 porque $3^1$<5 y que es menor que 2 porque $3^2$>5. Ocurre que $log_{3}{5}$ es un número irracional y para aproximarlo tendremos que utilizar la calculadora. Hay calculadoras que nos permiten calcular el logaritmo con una sola tecla, que es de la forma $\boxed{log_{\fbox{}}{\fbox{}}}$.

Elaboración propia. *Logaritmo en calculadora* (CC BY-NC-SA)

Pero en la mayoría de las calculadoras solo hay dos teclas para calcular logaritmos, $\boxed{log}$ y $\boxed{ln}$, que nos permiten calcular los logaritmos decimales y los logaritmos neperianos. Para calcular logaritmos con cualquier otra base debemos utilizar la propiedad 4 que vimos antes. Calculamos $log_{3}{5}$ utilizando que $log_{3}{5}=\Large\frac{log{5}}{log{3}}$=1.46497... Puedes comprobar que el resultado es el mismo si usas logaritmo neperiano: $log_{3}{5}=\dfrac{ln(5)}{ln(3)}$=1.46497...

Elaboración propia. *Logaritmos en calculadora* (CC BY-NC-SA)

De esta forma podemos calcular los logaritmos con cualquier otra base. Puedes practicar calculando:

$log_{5}{12}$
$log_{4}{18}$
$log_{12}{27}$

Mostrar solución

$log_{5}{12}=1.543959...$
$log_{4}{18}=2.084962...$
$log_{12}{27}=1.326342...$

8. Ejercicio resuelto

Calcula $log50+log2$ aplicando las propiedades de los logaritmos.
Sabiendo que $log_{3}{m}=1.2$, calcula aplicando las propiedades de los logaritmos:
1. $log_{3}{9k^3}$
2. $log_{3}{\Large\frac{1}{\sqrt{k}}}$
3. $log_{3}{\Large\frac{(3k)^2}{\sqrt[3]{k}}}$

Mostrar solución

$log50+log2=log(50·2)=log100=2$
Soluciones:
1. $log_{3}{9k^3}=log_{3}{9}+log_{3}{k^3}=log_{3}{9}+3·log_{3}{k}=2+3·1.2=5.6$
2. $log_{3}{\Large\frac{1}{\sqrt{k}}}$ $=log_{3}{1}-log_{3}{\sqrt{k}}$$=log_{3}{1}-log_{3}{k^{\Large\frac{1}{2}}}=0-\dfrac{1}{2}log_{3}{k}=-\dfrac{1}{2}·1.2$=-0.6
3. $log_{3}{\Large\frac{(3k)^2}{\sqrt[3]{k}}}$ $=log_{3}{\Large\frac{(3k)^2}{k^{\Large\frac{1}{3}}}}=$ $2(log_{3}{3}+log_{3}{k})-\dfrac{1}{3}·log_{3}{k}=2(1+1.2)-\dfrac{1}{3}·1.2=3.8$

Ejercicio de autoevaluación

Lee y completa

El logaritmo de 1 es Rellenar huecos (1): JXUwMDY4 .

No existe el logaritmo de un número Rellenar huecos (2): , pero un logaritmo sí puede ser Rellenar huecos (3): .

La base del logaritmo neperiano es el número Rellenar huecos (4): JXUwMDNk .

log0.001 es igual a Rellenar huecos (5): JXUwMDc1JXUwMDFl y log1000 es igual a Rellenar huecos (6): JXUwMDZi .

$log_{a}{x·y}$ = $log_{a}{x}$ Rellenar huecos (7): JXUwMDcz $log_{a}{y}$

$log_{a}{\frac{x}{y}}$=$log_{a}{x}$ Rellenar huecos (8): JXUwMDc1 $log_{a}{y}$

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Calculando logaritmos

Calcula los logaritmos que te proponemos en el siguiente applet de Geogebra. Puedes elegir entre tres niveles diferentes. Recuerda que pulsando en el cuadro inferior derecho puedes poner el ejercicio en pantalla completa

https://www.geogebra.org/m/fpzfkvev (Ventana nueva)

acrusot79,https%3A//www.geogebra.org/m/fpzfkvev,logaritmos,1,Autor%EDa

Actividad%20no%20completada,Actividad%20superada.%20Puntuaci%F3n%3A%20%25s,Actividad%20no%20superada.%20Puntuaci%F3n%3A%20%25s,Guardar%20la%20puntuaci%F3n